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algèbre

(latin médiéval algebra, de l'arabe al-djabr, réduction)

François Viète
François Viète

Branche des mathématiques qui, dans sa partie classique, se consacre à la résolution par des formules explicites des équations algébriques et, dans sa partie moderne, étudie des structures (groupes, anneaux, corps, idéaux) et se prolonge par les algèbres linéaire et multilinéaire et par l'algèbre topologique.

Même si la discipline est des plus anciennes, le mot algèbre ne remonterait qu'au ixe s., venant du terme arabe al-djabr. Utilisé dans un traité du mathématicien al-Khārezmī, ce mot désigne un procédé de calcul consistant à ajouter un même nombre aux deux membres d'une égalité. Née de procédés parmi les plus simples, l'algèbre s'est par la suite complexifiée, en irriguant toutes les branches des mathématiques. Qui plus est, l'étude des structures algébriques a permis d'organiser les divers objets mathématiques et de structurer leurs ensembles.

Objets d'étude et différentes branches

L'algèbre a connu deux tendances successives : l'époque classique, puis celle dite « moderne ». L'algèbre classique trouve son origine dans le calcul numérique, généralisation de l'arithmétique. Consacrée à la résolution des équations algébriques, elle s'attache à l'étude des opérations et de leurs propriétés. Grâce à la géométrie, elle continuera à s'abstraire de l'aspect numérique avec la notion d'espace vectoriel.

L'algèbre moderne se constitue avec, à la base, la théorie des ensembles, considérés en fonction des lois de composition définies sur eux, et l'émergence des structures algébriques (groupe, anneau, etc.), qui seront étudiées indépendamment de leurs réalisations concrètes. La recherche des structures devient une des préoccupations premières de l'algèbre : en donnant la possibilité de se dégager des cas particuliers, les structures permettent de résoudre les grandes familles de problèmes. Il devient ainsi possible de construire l'algèbre à partir d'un petit nombre de propriétés, transportables à l'intérieur d'une même structure, sans qu'il soit besoin de les redémontrer. L'algèbre moderne se prolonge par les algèbres linéaire et multilinéaire, avec la structure fondamentale d'espace vectoriel, et par l'algèbre topologique (espaces normés, espaces vectoriels topologiques, etc.).

L'histoire de l'algèbre

De l'Antiquité au xviiie s.

L'algèbre existe, dès le IIe millénaire avant notre ère, chez les Babyloniens, ou, vers les iiie-ive s. après J.-C., avec Diophante, qui développe la notion d'inconnue et propose des calculs avec des nombres rationnels positifs. Cependant, cette influence ne se fera sentir en Occident qu'à partir du xvie s., après avoir transité par l'Inde et les pays d'islam. Tartaglia et J. Cardan résolvent des équations des troisième et quatrième degrés, tandis que R. Bombelli crée une première forme de nombres complexes. F. Viète fonde le calcul littéral en introduisant la représentation symbolique des grandeurs par des lettres.

En 1637, Descartes applique ce calcul à des problèmes géométriques, créant ainsi la géométrie analytique ; il énonce le principe selon lequel une équation algébrique a autant de racines que son degré a d'unités. D'Alembert précise ces notions nouvelles dans son « théorème fondamental de l'algèbre » (1746). Gauss, sur une idée de ce dernier, en donne la première démonstration complète (1799).

xixe et xxe s.

Avec W. R. Hamilton apparaît, en 1843, une première algèbre non commutative, fondée sur les quaternions. La théorie des nombres conduit l'algèbre à des conceptions nouvelles. La notion de groupe, due à É. Galois (1830), prend une extension considérable avec les travaux de C. Jordan, tandis que F. Klein et S. Lie la généralisent. E. Kummer aboutit à la notion nouvelle de nombre idéal, qui sera clarifiée et systématisée par Dedekind (1871). Vers la fin du xixe s., ces travaux mèneront à la théorie des corps des nombres algébriques de Hilbert.

Le concept d'espace vectoriel se rattache pour sa part aux travaux de Hamilton, Möbius ou Grassmann. Les déterminants, connus depuis le xviiie s. dans l'œuvre de G. Cramer, ne deviennent d'un usage courant qu'avec C. Jacobi (1841). A. Cayley, parmi d'autres, développe la théorie des invariants et fonde en 1858 le calcul matriciel. Tous les domaines des mathématiques (géométrie, théorie des fonctions, logique, etc.) se trouvent envahis par les procédés algébriques.

Ainsi, l'algèbre de la logique, créée simultanément par G. Boole et A. De Morgan en 1847, repose sur l'idée que des formules algébriques peuvent exprimer des relations logiques entre des concepts : à la disjonction et à la conjonction de concepts correspondent respectivement l'addition et la multiplication des nombres.

Après Dedekind et Hilbert, la tendance du xxe s. sera à l'axiomatisation progressive de l'algèbre, due, notamment, à E. Artin et E. Noether. L'algèbre abstraite contemporaine apparaît, dont les publications du groupe Bourbaki sont, depuis 1939, un des exemples. (→ calcul, géométrie, mathématiques, nombre, structure.)