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idéal

idéal à gauche (respectivement à droite) d'un anneau unitaire (A, +, ·)

Sous-groupe additif I de A tel que, pour tout élément x de l'anneau A et pour tout élément y de I, le produit xy (respectivement yx) appartient à I. (Si A est un anneau commutatif, alors on dit simplement idéal.)

MATHÉMATIQUES

Si A est un anneau non commutatif et I un idéal à gauche et à droite, alors I est dit idéal bilatère. Tout idéal de A est un sous-anneau de A (la réciproque n'étant pas vraie). Les seules relations d'équivalence définies sur un anneau A et compatibles avec la structure d'anneau de celui-ci sont de la forme a Rb si et seulement si (a b) ∈ I, où I est un idéal bilatère de A ; l'ensemble quotient noté A/I a une structure d'anneau. Si A = ℤ, anneau des entiers relatifs, tout idéal de ℤ est principal et l'on retrouve la relation de congruence a b mod n, équivalente à (a b) ∈ n .