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calcul

(de calculer)

Bouliers
Bouliers

Action de calculer, de compter ; l'opération elle-même que l'on fait pour trouver le résultat de la combinaison de plusieurs nombres.

Dans sa relation au monde, l'homme passe, grâce au calcul, du qualitatif au quantitatif, dont l'instrument est la mesure.

Origine et développement

La pratique du calcul a d'abord été réservée à une élite (fonctionnaires, astronomes, architectes, etc.) ; ainsi, on a retrouvé des tables de multiplication sur des tablettes babyloniennes. Dès l'Antiquité ont été utilisés les bouliers et les abaques, tableaux sur lesquels on déplaçait des jetons ou des cailloux (d'où l'origine probable du mot « calcul », dérivé du latin calculus, « caillou »).

Avec l'introduction du calcul dans la physique, lors de la révolution scientifique du xviie s., est franchi le pas vers la société moderne ; Max Weber définira plus largement cette modernité comme « le règne du calcul sur l'activité humaine ». Pour Galilée, l'un des initiateurs de cette révolution, « Le grand livre de la nature est écrit avec l'alphabet de la géométrie » ; cela signifie que, désormais, l'espace physique (l'espace des choses) et l'espace géométrique (celui des idées et des calculs) ne font plus qu'un. Dès lors, on assiste à un essor du calcul sous toutes ses formes.

Le calcul numérique et le calcul algébrique

Jusqu'à l'apparition de l'algèbre et de sa symbolique, il n'est de calcul que numérique. L'évolution du calcul, très complexe, liée à celle des divers systèmes de numération, est souvent mal connue. Le système fort compliqué des Romains n'était pas favorable à son développement. En revanche, les Indiens seront les créateurs de la numération moderne, transmise par les Arabes. L'évolution du calcul numérique et du calcul algébrique se caractérisera par une double tendance : une simplification et une mécanisation des techniques opératoires autour des quatre opérations arithmétiques ; une extension des techniques sur les entiers naturels vers les autres ensembles de nombres (entiers relatifs, nombres rationnels, réels ou complexes), puis aux ensembles structurés (espaces vectoriels, par exemple).

Le calcul en analyse

Il porte non plus sur des nombres ou des éléments d'une structure mais sur des fonctions. Il est aussi davantage centré sur la notion d'approximation, alors que le calcul numérique concernait surtout les égalités. À l'origine se situe le calcul infinitésimal, création du xviie s., d'où sont issues les diverses branches de l'analyse moderne : fonctions analytiques, calcul des variations, équations différentielles, mesure et intégration, etc. Dès l'Antiquité, on en trouve des traces dans les techniques d'approximation des Babyloniens et des Grecs. Avec Pythagore émerge la notion de grandeurs irrationnelles, justifiant de telles techniques. Avec Euclide et, surtout, Archimède, les géomètres adoptent des techniques illimitées pour l'étude des volumes ou des aires et précisent la notion de droite tangente à une courbe, premiers exemples de calcul intégral (aires et volumes) et différentiel (tangentes). Au xviie s., B. Cavalieri crée sa géométrie des indivisibles, qui systématise et promeut les techniques archimédiennes. Les idées plus classiques de P. de Fermat s'imposent dans ce qui deviendra le calcul intégral. Avec Newton et Leibniz émergent pour de bon le calcul différentiel et le calcul intégral en même temps que se précise la notion de fonction, qui jouera un rôle fondamental aux xviiie et xixe s. Des techniques nouvelles apparaissent : calcul des séries entières, fonctions exponentielles ou circulaires, logarithmes. Le problème des cordes vibrantes est étudié par Lagrange, D. Bernoulli, Euler et conduit Fourier, au début du xixe s., au calcul des séries trigonométriques. Cauchy étudie les fonctions de la variable complexe, travaux repris par Weierstrass puis par de nombreux mathématiciens. Au xxe s., cette théorie est généralisée aux fonctions de plusieurs variables.

Applications

Le calcul est en grande partie responsable de l'extraordinaire développement des sciences physiques modernes (physique et chimie), des mathématiques appliquées et des techniques associées. Les sciences de l'ingénieur ne se conçoivent pas sans calculs et sans « applications numériques », avec les méthodes d'approximation et les « calculs d'erreurs » (remplacement d'une intégrale par une formule approchée, d'une fonction numérique par un polynôme, etc.). Au cours de la seconde moitié du xxe s., un glissement s'est opéré qui a vu le calcul passer de l'opérateur humain, aidé d'instruments (règle à calcul, tables), à la machine. Désormais, celle-ci a intégré le calcul et ses méthodes et, par l'intermédiaire de programmes divers, se substitue à l'homme. Grâce à des outils qui vont de la calculette aux plus gros ordinateurs, le calcul est présent dans quasiment tous les domaines d'activité.