En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de cookies pour vous proposer des publicités adaptées à vos centres d’intérêts, réaliser des statistiques ainsi qu’interagir avec des réseaux sociaux.

Pour en savoir plus et paramétrer les cookies

Identifiez-vous ou Créez un compte

matrice

(latin matrix, -icis)

Famille ij) d'éléments d'un corps K, (i, j) ∈ { 1, …, n } × { 1, …, p}, n et p étant deux naturels, habituellement présenté sous la forme d'un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes [matrice de type (n, p)].

MATHÉMATIQUES

Si M = (αij) est une matrice de type (n, p), l'élément αij est à l'intersection de la iième ligne et de la jième colonne. Les éléments d'une même ligne forment un vecteur ligne ; les éléments d'une même colonne forment un vecteur colonne.

Si n = 1, la matrice est dite matrice ligne ;
si p = 1, la matrice est dite matrice colonne ;
si n = p, la matrice est dite matrice carrée d'ordre n.
Les éléments αii d'une matrice carrée, appelés éléments diagonaux, forment la diagonale principale de la matrice. Si les éléments situés symétriquement par rapport à cette diagonale sont égaux (αij = αji), la matrice est dite symétrique.

L'ensemble des matrices de type (n, p) sur un corps K se note Mn, p(K). L'ensemble des matrices carrées d'ordre n sur un corps K se note Mn(K).

Structure de l'ensemble Mn, p(K)

L'addition de deux matrices M = (αij) et M′ = (α′ij) est définie par M + M′ = (βij) avec βij = αij + α′ij. La multiplication externe d'une matrice M = (αij) par un scalaire λ est définie par λM = (βij), avec βij = λαij. Muni de ces deux opérations, l'ensemble Mn, p(K) a une structure d'espace vectoriel sur K de dimension np. L'élément neutre du groupe additif est la matrice nulle, généralement notée 0, qui vérifie ∀(i, j), αij = 0, et l'opposé de la matrice M = (αij) est la matrice, notée −M, égale à (−αij). Si M = (αij) est un élément de Mn, p(K) et N = (βhi) un élément de Mm, n(K), alors le produit NM est défini par NM = (γhj), où . Pour obtenir l'élément de la hième ligne et de la jième colonne de NM, il faut donc faire la somme des produits d'un élément de la hième ligne de N par l'élément de la jième colonne de M de même indice, soit :

 ; on a alors :
γhj = βh1 α1j + βh2 α2j + … + βhi αij + … + βhn αnj.
Cette multiplication entre matrices n'est évidemment pas commutative.

Structure de l'ensemble Mn(K)

Le produit de deux matrices carrées d'ordre n est toujours défini ; l'ensemble Mn(K) des matrices carrées d'ordre n, muni des opérations addition et multiplication des matrices, est donc un anneau unitaire. L'élément unité est la matrice unité, notée In, dont les éléments diagonaux sont égaux à 1, tous les autres éléments étant nuls. Cet anneau n'est pas commutatif et n'est pas intègre. Muni des trois opérations addition, multiplication et multiplication externe par un scalaire λ, il a une structure d'algèbre sur K. Ses éléments inversibles sont les matrices associées à des automorphismes ; on les appelle matrices carrées inversibles ou régulières.

Les matrices jouent un rôle important en algèbre linéaire (étude des applications linéaires, des endomorphismes, des automorphismes, des déterminants) et dans la résolution des systèmes d'équations linéaires. Elles trouvent également de nombreuses applications en physique et en analyse numérique (analyse théorique de la stabilité des méthodes de calcul numérique, résolution numérique des systèmes d'équations linéaires, des équations différentielles et aux dérivées partielles, etc.).