mathématiques

Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore

Science qui étudie par le moyen du raisonnement déductif les propriétés d'êtres abstraits (nombres, figures géométriques, fonctions, espaces, etc.) ainsi que les relations qui s'établissent entre eux.

Introduction

L'évolution des mathématiques, sur plus de vingt-cinq siècles, a été considérable. Non seulement elles ont donné lieu à une impressionnante quantité d'inventions et de découvertes, mais la constitution même de cette science a été modifiée. Les mots qui servent à désigner ses branches (algèbre, géométrie, etc.) ont en grande partie changé de sens. Un survol de leur évolution aide à comprendre cette diversité de sens. Une connaissance plus fine de leur histoire permettrait de saisir aussi combien des mots comme « fonction » ou « mesure » ont pu changer de signification.

Historique

Tout au long de leur histoire, les mathématiques offrent un double aspect. Elles sont d'abord une science, la plus théorique de toutes sans doute : elles traquent la vérité à propos d'objets fort peu naturels. D'un autre côté, le souci de mettre au point des procédés pratiques efficaces, calculatoires notamment, pour répondre à des besoins de nature très diverse, n'a jamais cessé d'animer les recherches. Tantôt les deux genres de préoccupations s'accordent étroitement, tantôt leurs liens se relâchent.

L'Antiquité

La géométrie et l'arithmétique ont des origines pratiques indéniables. On les rencontre dans presque toutes les civilisations quelque peu évoluées (en Inde, en Chine, en Égypte, etc.). Des préoccupations s'approchant du mysticisme, comme en témoigne le cas de Pythagore et de ses disciples (vie s. avant J.-C.), ont pu également avoir un rôle moteur.

La particularité de la Grèce est de leur avoir donné une forme déductive, avec définitions, principes et théorèmes. Euclide (iiie s. avant J.-C.) rassembla tout le savoir théorique qui avait été ainsi élaboré. Les treize livres de ses Éléments allaient constituer la référence majeure jusqu'au xixe s., notamment pour la géométrie, dans le plan et dans l'espace.

Dans les Éléments, l'arithmétique est la science qui prend pour objet les propriétés des nombres dans toute leur généralité. Il s'agit alors exclusivement de nombres qui expriment la pluralité : les entiers, à partir de 2. La simple pratique des calculs, sous le nom de logistique, était abandonnée aux hommes de l'art.

Le Moyen Âge et la Renaissance

Les successeurs des Grecs furent d'abord les savants du monde arabe puis, grâce à ces derniers, l'Occident latin. Tout en recueillant l'héritage d'Euclide et des autres grands géomètres, tous consacrèrent beaucoup au développement de méthodes pratiques. La plus importante de toutes fut la numération décimale de position, importée des Indes, aux algorithmes si efficaces. À la longue, le calcul écrit supplanta les autres techniques telles que l'usage des jetons.

Égyptiens, Mésopotamiens et Grecs savaient déjà résoudre ces petits problèmes qui, pour nous, débouchent sur la résolution d'une équation. Des méthodes approximatives leur donnaient quelques succès pour les degrés un et deux. Dans la géométrie grecque, on trouvait des problèmes équivalents, débouchant sur des constructions à la règle et au compas. Celui de la quadrature du cercle (construire un carré égal en aire à un cercle donné) fut un de leurs plus célèbres échecs.

Les Arabes réussirent à traiter de manière systématique les équations du second degré. Leur algèbre, comme on dit depuis, consistait en une méthode de manipulation des nombres, confirmée en parallèle par une preuve géométrique de sa validité. Il ne s'agissait pas encore de calculs littéraux : on exposait avec des mots, sur un exemple. Mais les calculs numériques, néanmoins, étaient devenus plus hardis : on opérait avec des fractions, parfois même avec des racines. Les Italiens, au xvie s., s'attaquèrent avec succès aux équations du troisième et du quatrième degré, inventant les nombres complexes pour pouvoir passer outre aux difficultés. Cette longue période a donc surtout vu se réaliser un superbe progrès désordonné, mais considérable, de la « logistique ».

La période classique

L'époque de la fin de la Renaissance vit apparaître d'autres nouveautés, comme les logarithmes. Deux d'entre elles allaient conduire à la naissance de l'analyse, destinée à supplanter arithmétique et géométrie : l'une fut l'usage des lettres en algèbre ; l'autre fut l'habitude qui se prit alors de ne pas hésiter à mêler l'infini aux calculs. On se mit notamment à user des séries, c'est-à-dire de sommes comportant une infinité de termes et prenant néanmoins une certaine valeur. Ainsi de la somme de fractions qui, lorsque l'on ajoute des termes toujours diminués de moitié, donne 1.

René Descartes (1596-1650) combina la nouvelle algèbre avec la géométrie, créant ainsi la géométrie analytique. Cette dernière, avec ses équations de courbes, conduisit tout naturellement à la notion de fonction. C'est pour en déployer les potentialités que Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) mirent au point le calcul infinitésimal. L'analyse, regroupement de toutes ces nouveautés, offrit le vaste champ de ses méthodes et de ses problèmes : limites, dérivation, intégration, équations différentielles, développements en série, etc. La géométrie et la mécanique en bénéficièrent pleinement.

La période moderne

L'expansion quantitative n'a fait que s'accélérer depuis. Un souci de rigueur accrue, qui se fit jour au xixe s., allait conduire à de nouvelles créations en même temps qu'à un bouleversement des mathématiques.

L'exigence de rigueur s'exerça d'abord sur les bases de l'analyse, laquelle n'avait été, quant à sa démarche, qu'une nouvelle logistique. Toutes les catégories de nombres reçurent enfin une définition solide ; en particulier les réels, grâce à Richard Dedekind (1831-1916) et à Georg Cantor (1845-1918). Non seulement l'analyse, mais même la géométrie (par un renversement de la géométrie analytique) pouvaient ainsi recevoir des bases bien organisées.

C'est vers la même époque que la découverte des géométries non euclidiennes commença d'ébranler la confiance en la vérité des mathématiques. Il devenait patent que cette science ne pouvait plus recevoir pour fondements que des axiomes, principes que l'on pose librement comme prémisses aux développements déductifs. L'Italien Giuseppe Peano (1858-1932) le réalisa pour l'arithmétique et l'Allemand David Hilbert (1862-1943) pour la géométrie.

Les ensembles, promus par Cantor en cette même fin de siècle, se révélèrent de bien meilleurs objets élémentaires que les entiers et les figures. L'équipe Bourbaki en vint à procéder à une reconstruction de la totalité des mathématiques à partir des ensembles. Ainsi peut-on y jouer depuis sur tous les degrés possibles de généralité, ce qui confère unité, souplesse et puissance.

Cette reconstruction a bénéficié, en plus de l'invention décisive des ensembles infinis, de trois développements. L'algèbre, après avoir porté sur les calculs littéraux, tendait à devenir la science des opérations elles-mêmes. En second lieu, l'étude des équations algébriques et celle des invariances géométriques avaient conduit à remarquer l'importance des groupes de transformations. Une troisième nouveauté, appelée à jouer un rôle d'importance, fut la topologie ; elle s'intéressait au départ à des problèmes de positions qui la conduisirent à relativiser l'importance des formes géométriques dans certaines questions. Le point commun à ces trois avancées est à repérer dans une certaine évanescence de l'objet initialement étudié : le nombre en algèbre, au profit de l'opération ; les équations d'un côté et les figures de l'autre, dans le cas des groupes, au profit des transformations ; la forme de la figure, enfin, qui perd en quelque sorte sa rigidité. Ainsi s'opérait une certaine décomposition de l'objet traditionnel des mathématiques, qui allait permettre et appeler une recomposition autour de nouveaux objets : les ensembles et les relations.

Les mathématiciens se sont livrés, en même temps qu'à cette vaste réorganisation, à un travail de fondation. Le besoin s'en faisait sentir depuis que les géométries non euclidiennes avaient mis à mal l'idée de vérité mathématique. Estimant que tout pouvait se réduire au nombre, les logicistes, avec l'Allemand Gottlob Frege (1848-1925) et le Britannique Bertrand Russell (1872-1970), entreprirent de faire sortir celui-ci de la logique. Il est vrai que cette dernière était enfin devenue une science, très mathématique d'allure, et qu'elle apparaissait comme science de la pensée pure. Les intuitionnistes, ou constructivistes, avec le Néerlandais Luitzen Brouwer (1881-1966), refusèrent cette réduction et pratiquèrent une logique un peu modifiée. Mais les mathématiciens ont plutôt suivi Hilbert dans sa tentative formaliste. Son but était de prouver, par le développement d'une métamathématique, que les mathématiques elles-mêmes ne risquaient pas de contenir une contradiction qui, en se révélant un jour, les aurait ruinées. Si cet aspect du projet n'a pas eu tout le succès escompté, la conception d'ensemble des mathématiques qui y est cultivée a largement prévalu.

Les mathématiques aujourd'hui

Les mathématiques, telles qu'un traité complet peut les exposer aujourd'hui, commencent par les ensembles, éventuellement accompagnés de la logique. Elles continuent par l'étude des structures générales, topologiques, algébriques ou d'ordre. Puis viennent les nombres et tout ce qui peut se produire par l'entrecroisement de ces premières branches.

La logique

Plus ou moins tenue pour une branche des mathématiques, en charge de la rigueur de ces dernières, la logique étudie la structure des propositions et celle des théories déductives. La logique dont les mathématiques ont besoin est bivalente : une proposition est soit vraie soit fausse, quelque sens que l'on donne à ces mots. Elle n'est pas modale : ni la temporalité ni le souhait n'y ont leur place.

La structure déductive d'une théorie s'examine à l'aune de règles telles que celle du modus ponens : des théorèmes A et (A ⇒ B) on peut déduire le théorème B. Il s'agit là du point de vue que l'on appelle syntaxique : le travail se réalise au niveau le plus formel possible. Le point de vue sémantique s'intéresse, sinon au sens à proprement parler, du moins à la possibilité pour une proposition d'être vraie dans une interprétation donnée du système symbolique.

Les ensembles

La théorie des ensembles la mieux acceptée est celle de Zermelo-Fraenkel (ZF). On adjoint généralement à ses axiomes celui du choix, nécessaire pour pouvoir démontrer, en tous domaines, nombre de théorèmes auxquels on tient. On forme ainsi la théorie ZFC.

Les axiomes définissent la manière licite de produire des ensembles, notamment par les opérations telles que l'intersection. La suite de la théorie des ensembles porte surtout sur les cardinaux, c'est-à-dire sur les nombres d'éléments des ensembles infinis, ainsi que sur les ordinaux, expressions des manières de classer ces éléments.

L'algèbre

L'algèbre générale n'est que le prolongement de la théorie des ensembles. Elle étudie les opérations qui peuvent se faire sur les ensembles eux-mêmes ainsi que les relations que l'on peut établir entre éléments de l'un et éléments d'un autre, ou bien entre éléments d'un même ensemble. Dans le premier cas se rangent surtout les fonctions, avec des catégories importantes, comme celle des bijections. Dans le second cas, les relations d'équivalence se distinguent par la possibilité qu'elles donnent d'effectuer des partitions, c'est-à-dire des découpages. Une fois cet arsenal disponible, on peut aborder l'étude des structures algébriques, c'est-à-dire des opérations et de leurs propriétés, toujours en toute généralité : structures de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels. Avec ces derniers, on entre dans l'algèbre linéaire, très influencée dans ses idées et dans son vocabulaire par la géométrie des vecteurs. Par addition de propriétés supplémentaires, on enrichit les structures, au prix bien entendu d'une perte de généralité : plus on suppose de propriétés à des opérations, moins on rencontrera de situations pouvant entrer dans ce moule qu'est une structure.

La question des équations algébriques, autrement dit la bonne vieille algèbre, trouve sa place à ce niveau. Il n'est pas nécessaire de construire les nombres réels pour commencer d'étudier la factorisation des polynômes et la résolution des équations. Ces notions reçoivent une définition générale dans le cadre des structures d'anneau et de corps. Les théorèmes généraux ainsi établis s'appliqueront, en particulier, au cas des polynômes réels et à celui des polynômes complexes.

La topologie

La visée de la topologie générale est de fournir à l'analyse des bases larges. Elle traite, de la façon la plus abstraite possible, des questions de voisinage, de proximité, de limite, de continuité. Elle leur donne un sens dans les espaces topologiques, c'est-à-dire dans tout ensemble dans lequel on trouve des sous-ensembles satisfaisant à certaines conditions. L'usage des ensembles permet d'éviter complètement toute notion de distance, tout en ménageant la possibilité de prendre cette dernière en compte. Comme pour les structures algébriques, on peut enrichir à loisir les structures topologiques.

Les résultats s'appliquent, sans surprise, à des espaces tels que l'ensemble des réels. Mais les retombées vont bien au-delà. Les espaces topologiques sont tout aussi bien des ensembles de fonctions numériques : leurs « points » sont des fonctions.

Des branches plus spécialisées de la topologie la conduisent à se lier à d'autres branches, notamment à l'algèbre.

Les nombres

À partir des ensembles on sait reconstruire les entiers et, à partir de ces derniers, les rationnels, les réels, les complexes et d'autres encore.

L'arithmétique n'est plus, dans l'usage le plus courant, que l'étude des entiers. Lorsque cette science commence à faire appel à d'autres branches, dont l'analyse, pour trouver des solutions à ses problèmes, on l'appelle plutôt théorie des nombres. L'étude des rationnels est parfois considérée comme faisant partie de l'arithmétique, ce qui, jusqu'à un certain point, n'entraîne aucun inconvénient. Cette partie du langage des mathématiques n'a rien d'officiel. Elle ne donne pas lieu à des définitions en bonne et due forme, parce que le découpage des mathématiques que ces mots opèrent n'est guère important : on ne leur demande que de fournir un vague repérage.

Analyse, probabilités, géométrie…

L'étude classique des fonctions, à variables réelles ou complexes, bénéficie de la puissance de la topologie. L'intégrale, par exemple, a pu être définie dans le cadre très général des espaces topologiques. De nombreux théorèmes relatifs aux intégrales peuvent ainsi se voir démontrer en une seule fois.

Nées au xviie s. en tant que calcul des chances, les probabilités ont reçu leurs bases axiomatiques précises, permettant une déduction impeccable de leurs théorèmes. On n'a besoin pour cela que des ensembles et des nombres réels, sans aucune allusion aux boules et aux urnes. Cela n'empêche pas d'employer un vocabulaire marqué par les origines réelles : on parle toujours d'événements ; mais ce ne sont plus que des sous-ensembles d'un ensemble qui peut être des plus quelconques. Le maintien de ce vocabulaire n'est d'ailleurs pas seulement la conséquence des habitudes prises : il aide à faire le lien entre la théorie et l'application pratique.

La structure d'espace affine, définie à partir de la notion d'espace vectoriel, est une reconstruction de la droite, du plan et de l'espace de la géométrie traditionnel. Mais son caractère très général va jusqu'à les appauvrir. La notion de distance, par exemple, n'est introduite que dans une étape ultérieure, celle des espaces affines euclidiens. Il faut ensuite que l'analyse vienne prêter main-forte pour que toute la richesse des courbes et des surfaces réapparaisse. La géométrie, qui avait été la science reine depuis Euclide, est de toutes les anciennes branches la plus écartelée.

L'activité mathématique

L'apprentissage des rudiments

L'acquisition du savoir d'un bachelier – qu'un mathématicien considère comme tout juste rudimentaire – s'étale sur plusieurs années dans la vie d'un jeune humain. La géométrie étudiée représente une petite fraction des Éléments, repensée en terme de transformations et rendue plus calculatoire que démonstrative par l'emploi des vecteurs. Ces deux améliorations nous viennent du xixe s. L'algèbre se limite au second degré ; c'est donc celle des Arabes mais pratiquée avec le calcul littéral. La géométrie analytique est à peu près celle que Descartes connaissait. L'analyse est celle de Newton et de Leibniz, moins les séries. Les probabilités, enfin, sont celles des débuts, avec Pascal et Fermat. Ce n'est qu'en passant dans l'enseignement supérieur que l'on découvre véritablement les ensembles ainsi que l'algèbre moderne.

Les mathématiques, les autres sciences et les techniques

Le développement de la recherche mathématique poursuit sa croissance. On estime à cent mille le nombre des théorèmes produits chaque année dans le monde. Corrélativement, la spécialisation va en s'accentuant, comme pour toute l'activité scientifique. La recherche se scinde en recherche pure et recherche appliquée, cette dernière concernant les autres sciences ainsi que les techniques.

Depuis le xviie s., la physique est une science mathématisée : ses concepts de base sont des grandeurs (par exemple, la vitesse) ou le sont devenus (les couleurs). La mécanique céleste a été la première science de la nature à profiter pleinement de la richesse de moyens offerte par l'analyse. Au xxe s., la physique, et la cosmologie à sa suite, ont pu envisager un univers à quatre dimensions, non euclidien. Il n'est pas jusqu'aux sciences humaines, telle l'économie ou la sociologie, qui n'aient tenté de conquérir leur brevet de haute scientificité par le biais de la mathématisation. Certaines philosophes avaient d'ailleurs donné l'exemple en important des mathématiques, non certes des grandeurs, mais la démarche axiomatique elle-même, le cas de Spinoza étant le plus célèbre.

Les retombées des mathématiques dans le domaine des techniques ne sont pas moindres. Depuis la mesure des terrains jusqu'au calcul des trajectoires spatiales, du décompte des troupeaux aux techniques de sondage d'opinion, elles sont présentes dans toutes les activités par lesquelles les hommes s'efforcent de maîtriser la nature et la société. Les moyens informatiques n'ont fait que démultiplier les possibilités de calcul. Le domaine des statistiques, qui doit brasser d'énormes quantités de chiffres, est un de ceux qui en profitent pleinement.

Les thèmes de recherche

Les questions relatives aux fondements des mathématiques ont occupé le devant de la scène pendant les premières décennies du xxe s. On a tendance, depuis, à les laisser aux logiciens. Mais à aucun moment elles n'ont constitué plus qu'une petite partie de la recherche. Les moteurs de celle-ci sont des problèmes, tantôt vastes, tantôt d'un intérêt minuscule à première vue : certains viennent des mathématiques elles-mêmes, d'autres sont posés par les sciences et les techniques.

Un grand thème de recherche, pour se limiter à un exemple, est celui de la complexité, qui porte sur les méthodes de calcul en rapport avec les capacités des machines. Parmi les petits thèmes, la démonstration du théorème de Fermat a reçu une solution satisfaisante au bout de trois siècles et demi d'efforts passionnés. D'autres, comme la conjecture de Goldbach – tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers – ou la nature de la constante d'Euler, continuent de jouer leur rôle de défi et celui de prétexte à développer des nouveautés.

Blaise Pascal
Blaise Pascal
David Hilbert
David Hilbert
Fonctions de référence
Fonctions de référence
Georg Cantor
Georg Cantor
Gottfried Wilhelm Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz
Intégrales
Intégrales
Isaac Newton
Isaac Newton
Leonhard Euler
Leonhard Euler
Lord Bertrand Russell
Lord Bertrand Russell
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat
Propriétés des triangles
Propriétés des triangles
René Descartes
René Descartes
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Voir plus
  • vers 3000 avant J.-C. Numération décimale au Proche-Orient.
  • vers 3000 avant J.-C. Notions de géométrie pour l'arpentage (Égypte).
  • 2250 avant J.-C. À Babylone, résolution empirique de quelques problèmes d'algèbre et première mention de ce qui deviendra le théorème de Pythagore.
  • 1850 avant J.-C. Le papyrus égyptien Rhind (Louqsor) comporte des calculs d'aires, de volumes et l'écriture de fractions.
  • vers 570 avant J.-C. Naissance de Pythagore.
  • vers 530 avant J.-C. Pythagore, mathématicien et philosophe grec, émigre à Crotone où il attire de nombreux disciples.
  • IIIe s. avant J.-C. Éléments, d'Euclide, vaste synthèse de la géométrie classique grecque.
  • vers 287 avant J.-C. Naissance d'Archimède, à Syracuse.
  • vers 284 avant J.-C. Naissance d'Ératosthène, astronome, géographe, mathématicien et philosophe grec, inventeur d'une méthode de détermination des nombres premiers (crible d'Ératosthène) et auteur de la première mesure de la circonférence terrestre.
  • Ier s. Vie de Héron d'Alexandrie, mathématicien et mécanicien grec, inventeur de diverses machines (éolipile, fontaine de Héron).
  • IIIe s. Diophante, mathématicien de l'école d'Alexandrie : algèbre.
  • 260 En Chine, Liu Hui résout des systèmes d'équations ; il trouve pi = 3,14159.
  • IVe s. Pappus d'Alexandrie : Collection mathématique.
  • IVe s. Théon d'Alexandrie et sa fille Hypatie : commentaire de l'Almageste de Ptolémée ; réédition critique des Éléments d'Euclide.
  • Ve s. Proclus, philosophe et mathématicien grec : géométrie ; commentaire des Éléments d'Euclide.
  • VIe s. Aryabhata, mathématicien indien : emploi du système de numération décimale et du zéro ; première table connue de sinus.
  • 628 Traité d'astronomie du savant indien Brahmagupta, qui, le premier, utilise les nombres négatifs.
  • 773 Traduction arabe des Éléments d'Euclide. L'emploi des nombres dits « arabes », importés de l'Inde, se répand.
  • IXe s. Le mathématicien arabe al-Kharezmi (dont le nom a donné le terme « algorithme ») fonde l'algèbre.
  • 970 Gerbert d'Aurillac introduit en Occident l'usage des chiffres arabes et l'abaque.
  • vers 1047 - vers 1122 Vie du philosophe, poète et mathématicien persan Umar Khayyam, qui perfectionne l'algèbre (classification et résolution des équations du deuxième et du troisième degré) et réforme le calendrier (1079).
  • 1126-1198 Vie du philosophe et médecin islamique Averroès, commentateur d'Aristote et auteur d'un Traité universel de la médecine.
  • 1145 Liber embadorum, du Juif Savasorda de Barcelone, traité d'arpentage consacré au calcul des surfaces, premier ouvrage traitant, en latin, des équations du second degré.
  • 1202 Liber abbaci (Livre de l'abaque), du mathématicien italien Leonardo Fibonacci (Léonard de Pise) : arithmétique (suite de Fibonacci), algèbre.
  • vers 1325-1382 Vie de Nicole Oresme, philosophe et savant français (astronomie, mathématiques) : prémices de la géométrie analytique, introduction des exposants fractionnaires.
  • vers 1484 Triparty en la science des nombres, traité d'algèbre du mathématicien français Nicolas Chuquet (utilisation des exposants négatifs ; correspondance entre la progression arithmétique des exposants et la progression géométrique des puissances).
  • 1494 Summa de arithmetica…, traité de mathématiques de l'Italien Luca Pacioli (équations du second degré).
  • vers 1500 Découverte de la résolution de l'équation du troisième degré sous la forme réduite x3 + px + q = 0, par l'Italien Scipione Dal Ferro.
  • 1546 Théorie des équations du troisième degré par l'Italien Tartaglia.
  • 1557 Invention du signe égal (=) par le mathématicien anglais Robert Recorde.
  • 1591 Le Français Viète introduit l'usage des lettres en algèbre.
  • 1614 Invention des logarithmes par le mathématicien écossais John Napier.
  • 1638 Méthode pour trouver les tangentes à une courbe, par le mathématicien français Pierre de Fermat.
  • 1640 Essai sur les coniques, par Pascal.
  • 1642 Invention d'une machine à calculer par Pascal.
  • 1654 Fermat et Pascal créent le calcul des probabilités.
  • 1686 L'Allemand G. W. Leibniz expose les règles fondamentales du calcul différentiel.
  • 1687 Philosophiae naturalis principia mathematica, d'I. Newton. Loi de l'attraction universelle, calcul intégral.
  • 1693 G. W. Leibniz introduit la notion de déterminant en mathématiques.
  • 1696 Premier traité complet de calcul différentiel par le Français G. de L'Hospital.
  • 1707 Publication de l'Arithmetica universalis, de I. Newton.
  • 1707 Naissance de Buffon, Euler et Linné.
  • 1713 Publication posthume de l'Ars conjectandi du Suisse Jacques Ier Bernoulli, importante contribution au développement du calcul des probabilités.
  • 1733 Publication de l'ouvrage Euclides ab omni naevo vindicatus de l'Italien Giovanni Girolamo Saccheri, précurseur de la géométrie non-euclidienne.
  • 1734 Introduction de la notion d'équation aux dérivées partielles par le Suisse L. Euler.
  • 1736 Traité complet de mécanique de L. Euler, premier grand ouvrage où l'analyse est appliquée à la science du mouvement.
  • 1736 Naissance de Ch. de Coulomb, J. L. de Lagrange et J. Watt.
  • 1739 Développement en série du nombre e par L. Euler.
  • 1742 Traité des fluxions, du Britannique C. Maclaurin, donnant les formules de développement en série qui portent son nom.
  • 1744 L. Euler crée le calcul des variations.
  • 1748 L. Euler publie son Introduction aux infiniment petits, qui fait de la fonction le concept fondamental sur lequel s'échafaude toute la construction mathématique.
  • 1750 Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques du Suisse Gabriel Cramer.
  • 1768 Le Français G. Monge jette les bases de la géométrie descriptive.
  • 1768 J. H. Lambert démontre l'irrationalité du nombre pi.
  • 1772 Le Français Vandermonde développe l'étude des déterminants.
  • 1806 Le Suisse J. R. Argand élabore une représentation géométrique des nombres complexes.
  • 1811 Le Français J. Fourier montre que toute fonction peut être développée sous forme de séries trigonométriques.
  • 1812 Publication de la Théorie analytique des probabilités, de Laplace.
  • 1814 Début des travaux du Français A. Cauchy sur la théorie des fonctions d'une variable complexe.
  • 1821 Publication du Cours d'analyse de A. Cauchy.
  • 1822 Publication du Traité des propriétés projectives des figures, du Français J. V. Poncelet, qui fonde la géométrie projective, et de la Théorie analytique de la chaleur, du Français J. Fourier, qui introduit les séries trigonométriques dites « de Fourier ».
  • 1824 Le Norvégien N. Abel démontre l'impossibilité de résolution par radicaux de l'équation générale du 5e degré.
  • 1826 N. Abel complète et précise la notion de convergence des séries.
  • 1826 Première communication du Russe N. I. Lobatchevski sur l'élaboration d'une géométrie non-euclidienne.
  • 1829 Publication de Fundamente nova theoriae functionum ellipticarum, de l'Allemand C. Jacobi, qui développe la théorie des fonctions elliptiques.
  • 1832 Géométrie non-euclidienne du Hongrois J. Bolyai.
  • 1833 Le Britannique Ch. Babbage entreprend la construction d'une machine à calculer analytique, commandée par programme sur cartons perforés (projet inachevé).
  • 1837 L'Italien G. Bellavitis établit la notion de vecteur, à partir de la représentation géométrique des nombres complexes.
  • 1843 Le Britannique W. R. Hamilton établit, en algèbre, la théorie des quaternions.
  • 1844 L'Allemand E. E. Kummer crée la théorie des nombres idéaux pour étendre les concepts de l'arithmétique à l'étude des nombres algébriques.
  • 1847 Publication de The Mathematical Analysis of Logic du Britannique G. Boole, qui fonde la logique mathématique moderne.
  • 1851 Le Français J. Liouville fournit la première démonstration de l'existence des nombres transcendants.
  • 1851 B. Riemann développe la théorie des fonctions d'une variable complexe.
  • 1851 Les Paradoxes de l'infini, de B. Bolzano.
  • 1852 Publication du Traité de géométrie supérieure du Français M. Chasles.
  • 1854 Géométrie non-euclidienne de B. Riemann.
  • 1854 Naissance du mathématicien français H. Poincaré.
  • 1855 N. I. Lobatchevski publie une synthèse de ses travaux relatifs à une géométrie non-euclidienne.
  • 1858 Le Britannique A. Cayley perfectionne le calcul matriciel.
  • 1871 L'Allemand R. Dedekind crée, en algèbre, la théorie des idéaux.
  • 1872 R. Dedekind expose la théorie des nombres irrationnels.
  • 1872 L'Allemand F. Klein applique à la géométrie la théorie des groupes.
  • 1873 Le Français Ch. Hermite étudie les fonctions elliptiques et montre la transcendance (le caractère non algébrique) du nombre e.
  • 1874 L'Allemand G. Cantor crée la théorie des ensembles.
  • 1881 H. Poincaré découvre une méthode générale de résolution des équations différentielles.
  • 1882 G. Cantor introduit les nombres transfinis.
  • 1882 L'Allemand F. von Lindemann démontre la transcendance du nombre pi, établissant ainsi l'impossibilité de la quadrature du cercle.
  • 1884 Fondements de l'arithmétique, ouvrage de G. Frege.
  • 1884 L'Italien G. Ricci-Curbastro crée le calcul différentiel absolu (calcul tensoriel).
  • 1895 Début des travaux de topologie de H. Poincaré.
  • 1895-1908 Formulaire de mathématique, ouvrage de G. Peano.
  • 1897 Théorie des corps de nombres algébriques de l'Allemand D. Hilbert.
  • 1899 Publication des Grundlagen der Geometrie (Fondements de la géométrie) de D. Hilbert, qui ouvrent la voie à l'axiomatique moderne de la géométrie euclidienne.
  • 1908 Introduction par l'Allemand H. Minkowski du concept d'espace-temps à quatre dimensions, qui fournit une interprétation géométrique de la relativité restreinte.
  • 1908 Axiomatisation de la théorie des ensembles par l'Allemand E. Zermelo.
  • 1914 Publication des Grundzüge der Mengenlehre de l'Allemand F. Hausdorff (théorie des espaces topologiques et métriques).
  • 1922 L'Israélien (d'origine allemande) A. Fraenkel poursuit l'axiomatisation de la théorie des ensembles entreprise en 1908 par E. Zermelo.
  • 1931 Première publication de l'Américain (d'origine autrichienne) K. Gödel sur la logique mathématique.
  • 1931 Travaux du Français H. Cartan sur les fonctions analytiques de la variable complexe.
  • 1933 Travaux du Soviétique A. Kolmogorov sur l'axiomatisation du calcul des probabilités.
  • 1936 Concept de machine de Turing (pour l'étude des mécanismes de calcul) par le Britannique A. M. Turing.
  • 1939 Début de la publication des Éléments de mathématiques du groupe français N. Bourbaki qui se fixe pour but l'axiomatisation des diverses parties des mathématiques.
  • 1946 Mise en service à l'université de Pennsylvanie du premier calculateur électronique, l'Eniac, construit par les Américains J. P. Eckert et J. W. Mauchly.
  • 1972 Publication par le Français R. Thom de son ouvrage Stabilité structurelle et morphogenèse, qui crée la théorie des catastrophes.
  • 1975 Introduction par le Français B. Mandelbrot du concept d'objets fractals (ou fractales).
  • 1995 Démonstration du « grand théorème de Fermat ».
Voir plus