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topologie

Branche des mathématiques, appelée initialement analysis situs (analyse de situation), devenue ensuite tout à fait autonome, et où, selon Riemann, on étudie les propriétés invariantes sous l'effet de transformations biunivoques continues.

Historique

Donner un fondement mathématique précis à la notion, a priori intuitive, de voisinage et aux notions de limite et de continuité est l'objectif de la topologie générale. Ces notions furent utilisées sans être conceptualisées jusqu'à ce qu'au début du xixe s. Abel, Cauchy et Bolzano prennent conscience de la nécessité de définir la limite d'une suite et la continuité d'une fonction. Au milieu du xixe s., B. Riemann entrevoit la possibilité de considérer les ensembles de fonctions comme des espaces au même titre que l'ensemble des points d'un espace euclidien ; cette idée connaît un début de réalisation après l'étude (par G. Cantor) des propriétés des sous-ensembles de la droite réelle (puis, plus tard, du plan et de l'espace). Maurice Fréchet, réfléchissant sur la notion de distance, introduit les espaces métriques. De son côté, Félix Hausdorff (1914) définit les espaces topologiques par des axiomes qui sont à peu près identiques à ceux utilisés aujourd'hui. L'objectif de la topologie générale sera dès lors de définir les notions fondamentales d'ouvert, de fermé, de compact, etc., et d'étudier les liens entre espaces topologiques, espaces métrisables, etc. Les prolongements principaux actuels de la topologie sont la topologie algébrique ou combinatoire (aux applications nombreuses dans la théorie des équations) et la topologie différentielle.

De la géométrie à la topologie

La topologie s'apparente à la géométrie puisqu'elle s'intéresse aux formes dans l'espace, mais la géométrie s'occupe de formes rigides, et la topologie de formes malléables. Dans la géométrie, deux figures sont égales quand on passe de l'une à l'autre par un déplacement. L'objet est resté le même mais a changé d'emplacement. Tandis que, en topologie, une bouée et une tasse (avec anse) sont des surfaces topologiquement équivalentes car, à partir d'une des deux formes en caoutchouc, on peut envisager d'obtenir la deuxième par une transformation continue qui ne provoque ni coupure ni déchirure. Ce sont deux figures homéomorphes.

La notion de continuité

Dans un repère, une courbe qui passe à la fois au-dessus et au-dessous de l'axe des abscisses traverse nécessairement cet axe au moins une fois. Cette formulation établie par d'Alembert n'est démontrable que si l'on précise les continuités de la courbe et de l'axe ainsi que la forme du plan. Mais il est également nécessaire de définir précisément la notion même de continuité. Or, historiquement, celle-ci est restée, jusqu'au xixe s., une notion évidente (et intuitive) ; l'une des tâches des premiers mathématiciens qui travaillèrent sur la topologie a été d'en donner une définition rigoureuse : N. Abel, A. Cauchy ou B. Bolzano prennent conscience de la nécessité de définir la limite d'une suite et la continuité d'une fonction.

La forme de l'espace

Celle-ci a également son importance. Si l'on considère un plan limité par une frontière et si l'on suppose le déplacement d'une fourmi dans ce plan, l'insecte ne pourra parcourir qu'une des faces du plan sans franchir la frontière. Par contre, sur un ruban de Möbius, surface ne présentant qu'un seul côté, la fourmi pourra parcourir l'intégralité de la surface sans avoir à franchir le bord du ruban.

Les domaines de la topologie

Les exemples précédents recouvrent deux aspects différents et complémentaires de la topologie. La topologie générale rend compte de notions telles que continuité, limite, bord, frontière et nécessite pour cela qu'on examine la nature de ce qui est autour des points, c'est-à-dire leur voisinage. On peut aussi décrire ces notions de topologie générale à l'aide de structures algébriques telles que les groupes ; on parle alors de topologie algébrique.