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analyse

(grec analusis, décomposition)

Branche des mathématiques qui comprend le calcul infinitésimal, la théorie des fonctions et le calcul des variations. (L'analyse trouve des applications dans plusieurs autres branches des mathématiques ainsi qu'en physique.)

MATHÉMATIQUES

Les diverses branches des mathématiques qui constituent l'analyse moderne (fonctions analytiques, fonctions elliptiques, séries infinies, calcul des variations, équations différentielles et aux dérivées partielles, géométrie différentielle, mesure et intégration, analyse fonctionnelle, topologie) sont toutes issues d'un tronc commun : le calcul infinitésimal, création du xviie s. dont l'origine remonte à la plus haute antiquité. On en trouve des traces dans les techniques d'approximation des Babyloniens et des Grecs. Avec Aristote, on prend conscience de l'existence de grandeurs irrationnelles justifiant de telles techniques. Avec Euclide et surtout Archimède, les géomètres grecs adoptent des techniques illimitées pour l'étude des volumes (pyramide, sphère) ou des aires (quadrature du cercle, aire du segment de parabole). D'autre part, ils précisent la notion de droite tangente à une courbe. Ainsi apparaissent les premiers exemples de calcul intégral (aires et volumes) et de calcul différentiel (tangentes). En 1635, Cavalieri crée sa géométrie des indivisibles, qui veut systématiser et promouvoir les techniques archimédiennes.

Les idées plus classiques de Pierre de Fermat s'imposent dans ce qui deviendra le calcul intégral. Mais, surtout par ses techniques différentielles, il détermine les tangentes aux courbes planes. Par leur méthode cinématique, Roberval et Torricelli arrivent à des résultats analogues. Les études sur la cycloïde permettent de trouver les quadratures des expressions où se mêlent fonctions entières et fonctions trigonométriques. À la fin du xviie s., avec Newton et Leibniz, apparaissent véritablement le calcul différentiel et le calcul intégral en même temps que se précise la notion de fonction, destinée à jouer un rôle fondamental aux xviiie s. et xixe s. Des techniques nouvelles apparaissent : calcul des séries entières, fonctions exponentielles, fonctions circulaires directes et inverses, logarithmes. Le problème des cordes vibrantes passionne les esprits de la génération de Lagrange, de Bernoulli et d'Euler. Au début du xixe s., il amène Fourier au calcul des séries trigonométriques. Les besoins de rigueur qui se manifestent alors vont conduire les mathématiciens à la suite de Gauss, et surtout d'Abel et de Cauchy, à admettre qu'une série n'a de sens que si l'on a établi sa convergence. Cauchy définit clairement les bases de l'étude des fonctions analytiques, et pour cela étudie directement les fonctions de la variable complexe. Cette étude est reprise par Weierstrass, puis par de très nombreux mathématiciens. Au xxe s., cette théorie a été généralisée aux fonctions de plusieurs variables, puis à la théorie des espaces analytiques.

Parmi les fonctions de la variable complexe, les plus célèbres sont les fonctions elliptiques. Nées des recherches de Legendre, elles sont appliquées par Abel et par Jacobi au domaine de la variable complexe, où elles ont révélé leur importance en analyse, en géométrie algébrique et en théorie des nombres. Dans sa remise en ordre de l'analyse, Cauchy précise la notion d'intégrale en s'inspirant des conceptions archimédiennes ; Riemann étend cette notion à d'autres fonctions de la variable réelle. Cependant, ses conceptions seront profondément modifiées au moyen de la « mesure » introduite par Lebesgue en 1902. La généralisation de cette notion et des « espaces » sur lesquels elle s'applique donnera à l'intégration un rôle très important en analyse fonctionnelle et en calcul des probabilités.

L'étude des équations différentielles, dont les débuts remontent à Leibniz, et celle des équations aux dérivées partielles, qui remontent à d'Alembert ainsi qu'au problème des cordes vibrantes, fournissent au cours du xixe s. un important sujet de recherches. Les équations aux dérivées partielles, résolues par Lagrange, sont interprétées géométriquement par Monge. Les recherches sur la courbure des surfaces donnent de même une interprétation géométrique aux équations du second ordre. Enfin, les travaux de L. Schwartz sur les distributions (1945) sont un des prolongements de ces études.