types (théorie des)

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique

Le paradoxe des classes provient de ce qu'on autorise l'appartenance d'une classe à elle-même. Un cercle vicieux rend la classe en question tératologique dans la mesure où sa clôture n'est plus assurée : « C'est comme de vouloir marcher sur sa propre ombre » dira Russell. Ce diagnostic admis, le remède parut évident : prohiber la construction de telles classes. Dans sa théorie des types⁽¹⁾, Russell imposa une condition syntaxique de signifiance [significance] selon laquelle une classe ne peut se contenir comme élément. D'où une hiérarchie de domaines de signifiance des valeurs des variables, ou types, mutuellement exclusifs :
Type 0 : des individus : a, b, c, d...
T 1 : des classes d'individus : {a, b}, {a}, ...
T 2 : des classes de classes : {{a}}, {{a, b,}}, ..., etc.

L'appartenance ne peut valoir qu'entre éléments de types différents comme dans a ∈ α où a est un individu (type 0) et α une classe (type 1). La distinction des types interdit désormais qu'une classe s'appartienne. Elle doit d'abord être complètement constituée avant, éventuellement, d'appartenir à une autre classe de type immédiatement supérieur. Si un individu peut être membre d'un club de football, un tel club ne peut être membre que d'une fédération de clubs.

Pareille solution peut paraître ad hoc. De plus, elle menace la généralité des lois logiques dans la mesure où il faut en tout maintenir une distinction de type. Par exemple, les nombres sont indexés sur les types et il y a un infini par type.

D'autres approches sont possibles. La voie mathématique consiste en une théorie axiomatique des ensembles (Zermelo-Fraenkel) qui bloque l'engendrement d'ensembles tératologiques. Une autre logique, substitue aux classes distributives des classes collectives qui ne peuvent être parties d'elles-mêmes (Méréologie de Lesniewski).

Denis Vernant

→ antinomie, axiomatique, classes (paradoxe des), méréologie