Tableau rectangulaire à p lignes et n colonnes des coefficients d’une application linéaire d’un espace vectoriel E_n dans un espace vectoriel F_p construits sur un même corps commutatif K.

On note

ou, en abrégé,

On note aussi
A = ||a_ij|| ou A = (a_ij) ou A = [a_ij].
Toutes ces notations sont très courantes et équivalentes ; il suffit, pour chacune, de bien préciser si l’indice i désigne la ligne ou la colonne et d’indiquer les ensembles parcourus par i et j. En effet, le premier indice (ou l’indice inférieur) peut indifféremment désigner la ligne ou la colonne, mais ce choix doit être définitif. Dans le cas présent, c’est la ligne.

Les espaces vectoriels E_n et F_p sont respectivement de dimension n et p : l’espace E_n est rapporté à la base e_J, e₂, ..., e_n ; l’espace F_p est rapporté à la base . Le vecteur de E_p est le transformé du vecteur de E_n si les composantes y₁, y₂, ..., y_p du vecteur sont liées aux composantes x₁, x₂, ..., x_n du vecteur par les relations

ce qu’on écrit symboliquement Y = AX, Y et X représentant les matrices unicolonnes En prenant X = e_i, on trouve

c’est dire que est transformé en le vecteur-colonne de la matrice A. On obtient ainsi une première propriété de la matrice A d’une application linéaire u : les vecteurs-colonnes de la matrice A sont les transformés des vecteurs de base de l’espace E_n. La matrice A est donc complètement déterminée quand on connaît les transformés de , ce qui n’est pas surprenant, tout vecteur de E_n s’écrivant

puisque u est linéaire et qu’ainsi on connaît le transformé par u de tout vecteur de E_n.

Espace vectoriel des matrices à p lignes et n colonnes

Égalité de deux matrices

Deux matrices A = (a_ij) et B = (b_ij), i = 1, 2, ..., p et j = 1, 2, ..., n sont égales si et seulement si ∀i et j, a_ij = b_ij.

Somme de deux matrices

Les deux matrices A et B sont celles de deux applications linéaires u et v de l’espace vectoriel E_n dans l’espace vectoriel F_p ; l’application somme u + v a pour matrice la matrice C = (a_ij + b_ij), qui est la matrice somme des matrices A et B :
A + B = C = (c_ij) = (a_ij + b_ij), ∀i et j.

Produit d’une matrice par un scalaire du corps K

À l’application linéaire u de matrice A, on associe l’application w = λ u, telle que

La matrice A′ de w est A′ = λ

L’ensemble M_pn (K) des matrices à p lignes et n colonnes à coefficients dans le corps K, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, forme un espace vectoriel sur le corps K. L’élément neutre de l’addition est la matrice ||O||, dont tous les éléments sont nuls. Cet espace vectoriel est aussi noté K (p, n).

Multiplication des matrices

Si est la matrice de l’application linéaire u de E_n dans F_p, et la matrice de l’application linéaire v de F_p dans G_m, E_n, F_p et G_m étant trois espaces vectoriels sur K de dimensions respectives n, p, et m, on peut définir l’application w = v ∘ u de E_n dans G_m qui est aussi une application linéaire, dont la matrice C peut être calculée à l’aide de A et B. En effet,


en regroupant les termes en x₁, x₂, ..., x_n, on trouve

on a donc ce qui signifie

Ainsi, la matrice de l’application v ∘ u est connue en fonction de celles de v et de u ; si

le coefficient intervenant dans l’expression

est donné par
La matrice C de l’application w = v ∘ u de E_n dans G_m a m lignes et n colonnes ; A a p lignes et n colonnes ; B a m lignes et p colonnes. On écrit C = B × A ; C est la matrice produit de A par B à gauche.

• Propriétés du produit des matrices.

1. Le produit de plusieurs matrices est associatif : si A, B et C sont les matrices de trois applications de l’espace E_n dans l’espace F_p, de l’espace F_p dans l’espace G_m et de l’espace G_m dans l’espace H_l, on a
C ⋅ (AB) = (CA) ⋅ B.
On généralise au produit de plusieurs matrices.

2. Le produit de plusieurs matrices est distributif par rapport à l’addition :

Ces deux égalités indiquent la distributivité à gauche, puis à droite. Mais il faut faire bien attention à leur signification. Dans l’égalité (1), A et B sont deux matrices de deux applications d’un espace E_n dans un espace F_p ; donc A + B est la matrice d’une application de l’espace E_n dans l’espace F_p ; C est la matrice d’une application de l’espace F_p dans un espace G_m ; donc C (A + B) est la matrice d’une application de l’espace E_n dans l’espace G_m ; il en est de même de CA et CB, donc de CA + CB. Dans l’égalité (2), C est la matrice d’une application d’un espace E_n dans un espace F_p ; A et B sont deux matrices d’applications de l’espace F_p dans un espace G_m ; il en est de même pour A + B ; par suite (A + B) C est la matrice d’une application de l’espace E_n dans l’espace G_m ; il en est de même de AC et BC, donc de AC + BC.

Cette remarque est essentielle, car si le produit BA a un sens quand A et B sont respectivement les matrices des applications u de E_n dans F_p et v de F_p dans G_m, le produit AB n’a pas de sens dans les mêmes conditions : en utilisant B d’abord, on passe de F_p à G_m, et alors A est inutilisable puisque u fait passer de E_n à F_p.

3. Le produit BA est nul quelle que soit l’une des deux matrices si l’autre est nulle ; de plus, AB = 0 ou BA = 0 ∀B ⇒ A = 0.