Relation symbolique qui indique comment sont liés entre eux les rapports des unités de deux systèmes dans lesquels les grandeurs de base sont de même espèce et les formules choisies pour définir les unités dérivées sont les mêmes.

Généralités et exemples

Prenons comme exemple la pression dont la mesure p est égale au quotient des nombres f et a qui mesurent respectivement la force et l’aire sur laquelle cette force s’applique :

Dans un autre système d’unités identiquement construit, on aura entre les trois nombres p′, f ′ et a′ la relation

Le rapport des nombres qui mesurent une même grandeur avec des unités différentes est égal à l’inverse du rapport de ces unités. Les rapports P, F, A des unités de pression, de force et d’aire du second système aux unités correspondantes du premier sont donc liés par la relation P = FA^–1.

Ainsi, si les unités de force sont dans le rapport 10⁵ et les unités d’aire dans le rapport 10⁴, les unités de pression sont dans le rapport 10.

Les symboles qui figurent dans une telle équation de dimensions représentant des nombres, on peut appliquer les règles du calcul algébrique et, compte tenu des équations de définition des unités dérivées, en tirer l’équation de dimensions en fonction des unités de base.

Si L, M, T sont les rapports des unités de longueur, de masse et de temps, on aura, pour l’aire A = L², la vitesse V = LT^–1, l’accélération Γ = LT^–2, la force F = MΓ = LMT^–2, et, par suite, pour la pression, P = L^–1MT^–2. Sous cette forme, les équations de dimensions indiquent comment les rapports des unités de deux systèmes sont liés aux rapports de leurs unités de base.

Les unités de la mécanique ne font intervenir que les trois unités de base ci-dessus. Les unités électriques font de plus intervenir l’unité d’intensité électrique, choisie comme quatrième unité de base du système international. Les unités de la thermodynamique font intervenir l’unité de température. L’unité d’intensité lumineuse intervient dans le domaine particulier des unités photométriques.

Les unités de certaines grandeurs (angle plan, angle solide) sont indépendantes des unités de base. On convient de ne pas les faire intervenir dans les équations de dimensions. Les grandeurs correspondantes sont dites « sans dimension ».

Dans certaines lois de la physique apparaissent des coefficients qui dépendent des unités. Ainsi, la constante de la loi d’attraction universelle, G, définie par la relation a pour dimensions L³M^–1T^–2. Elle serait sans dimensions dans un système d’unités construit en partant d’une formule relative aux phénomènes de gravitation.

Homogénéité des formules

Une formule est l’expression d’une relation numérique entre des nombres qui mesurent diverses grandeurs. Cette relation doit être conservée si on change d’unités de base en conservant les relations de définition des unités dérivées. Cela exige que les termes qui figurent dans les deux membres soient multipliés par le même rapport, donc qu’ils aient mêmes dimensions. On dispose ainsi d’un procédé de contrôle du résultat d’un problème de physique ; toutefois, ce procédé ne permet de démontrer que l’inexactitude.

Soit ainsi la formule donnant la période du pendule simple : Le facteur 2π n’intervenant pas, on vérifie immédiatement que la dimension des deux membres est T.

Analyse dimensionnelle

Cette méthode peut être appliquée avec profit pour déterminer la forme de la solution d’un problème ou même cette solution elle-même, à un coefficient constant près, dans les cas les plus simples.

Comme exemple, cherchons la période t d’oscillation d’une goutte sphérique de liquide sous l’influence de sa tension superficielle σ et admettons que t ne dépende que du diamètre d, de la masse volumique ρ et de σ selon la formule t = kd^xρ^yσ^z. Les dimensions de ces trois grandeurs étant L, ML^–3 et MT^–2, la nécessité d’avoir une formule homogène conduit à écrire
T = L^x . (ML^–3)^y . (MT^–2)^z.
En égalant les puissances de T, de M et de L, on trouve

La valeur de k dépend du mode particulier d’oscillations considéré.

P. C.

 P. W. Bridgman, Dimensional Analysis (Yale, 1937). / E. Bauer, la Mesure des grandeurs, dimensions et unités (Hermann, 1939). / R. Esnault-Pelterie, Analyse dimensionnelle et métrologie (F. Rougé, Lausanne et Gauthier-Villars, 1949).