aléatoire (variable) (suite)
Variance
Sous réserve que les quantités indiquées aient un sens, la variance ou le moment centré d’ordre deux d’une variable aléatoire X est la quantité :
V(X) = Σ pi [xi – E(X)]2,
si X est discrète ;
si X est continue et de densité de probabilité f(x).
Dans les deux cas, la variance est une espérance mathématique, car
V(X) = E {[X – E (X)]2}.
Cette quantité n’est jamais négative ; sa racine carrée s’appelle l’écart type et est notée σ(X) ou σ. On démontre, en utilisant les propriétés de l’espérance énoncées ci-dessus, que
V(X) = E (X2) – [E (X)]2.
La quantité notée E (X2) est le moment non centré d’ordre deux. Elle est égale à Σ pi xi2, si X est discrète,
si X est continué.
Exemples.
1. Point amené par un dé. L’espérance est, dans ce cas,
De même
D’où
2. Dans le cas de la variable uniforme 
, on a
Propriétés de la variance.
V(hX) = E [hX – E(hX)]2 = E [hX – hE(X)]2 = E {h2 [X – E(X)]2} = h2E [X – E(X)2] = h2V(X) ; V(X + h) = V(X), car X – E(X) = X + h – [E(X) + h] et [X – E(X)]2 = [(X + h) – E(X + h)]2, ce qui entraîne V(X) = V(X + h).
V(X) = E(X2) – [E(X)]2, déjà signalée et qui permet le calcul de V(X) à partir de celui de E(X) et de E(X2).
V(X + Y) n’est égal à V(X) + V(Y) que si les variables X et Y sont indépendantes. Il suffit, pour se convaincre que l’égalité
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
peut ne pas être valable si X et Y ne sont pas indépendantes, de prendre Y = X et de calculer : V(X + Y) = V(2X) = 4V(X), ce qui est exact, alors que V(X) + V(Y) = 2V(X), ce qui est faux.
Covariance de deux variables aléatoires X et Y. C’est le nombre réel noté Cov(X, Y) et défini par Cov(X, Y) = E{[X – E(X)] [Y – E(Y)]}. Si les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, leur covariance est nulle. Mais, de façon générale, V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov (X, Y).
Inégalité de Bienaymé Tchebychev.
Elle donne un majorant de la probabilité pour qu’une variable aléatoire X d’espérance E(X) et d’écart type σ s’écarte, en valeur absolue, de sa moyenne, de plus d’une quantité ε > 0 :
Elle peut être utile, mais, dans bien des cas, elle est trop imprécise.
Par exemple, au jeu de dés à un dé,
Pour ε2 = 2 σ2 ou 
, ou pour
Or, l’événement 
est composé de deux éventualités : X = 1 et X = 6, de probabilité 
On voit l’imprécision de l’inégalité.
Exemples de lois de probabilité
1. Loi de Pascal. Une urne contient n1 boules blanches et n2 boules noires. Dans des tirages successifs avec remise, la probabilité de tirer une blanche est
et celle de tirer une noire est q = 1 – p. On s’intéresse à la probabilité d’obtention de k boules noires aux k premiers tirages et d’une boule blanche au (k + 1)ième tirage ; cette probabilité est qkp. La variable aléatoire X égale au nombre de boules noires tirées avant l’extraction d’une blanche est une variable de Pascal. On a :
2. Loi exponentielle. La variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle si sa densité de probabilité est la fonction f telle que
E. S.
➙ Application / Binomiale / Combinatoire / Gauss (C. F.) / Poisson (D.) / Probabilité.
G. Calot, Cours de calcul des probabilités (Dunod, 1963).