Éd. 1971-1976

cinématique des fluides (suite)

Lorsque n’est pas nul, le mouvement est rotationnel. Nous pourrions aussi définir une ligne tourbillon et un tube tourbillon. On montre qu’un tube tourbillon se termine sur une paroi ou se ferme sur lui-même (anneau tourbillon). La théorie des tourbillons joue un grand rôle en météorologie ; en particulier, les trombes et les cyclones offrent un exemple de tubes tourbillons limités par deux plans parallèles (mer et nuage).

Le schéma du fluide parfait, c’est-à-dire non visqueux en écoulement irrotationnel, est d’une grande utilité en cinématique des fluides théoriques. Pourtant, la réalité est plus complexe ; les décollements de la couche limite, dus à la viscosité, donnent naissance à des tourbillons, et cette même viscosité amortit les tourbillons existants. Les anneaux de fumée sont des anneaux tourbillons produits par viscosité sur les lèvres du fumeur.

L’une des relations de base de la mécanique des fluides intervenant en cinématique est l’équation de continuité, qui exprime la loi de conservation de la masse :

Si le fluide est incompressible, cette équation devient et l’on peut en déduire l’existence de deux familles de surfaces de courant :
Ψ (x, y, z, t) = a, χ (x, y, z, t) = b,
où a et b sont des constantes. Les intersections de ces surfaces définissent les lignes de courant de l’écoulement et, par conséquent, les vitesses

Les relations (2) et (3) nous montrent alors que surfaces équipotentielles et surfaces de courant sont orthogonales.

L’étude directe des fonctions potentielles des vitesses et des fonctions de courant est d’une grande utilité pratique pour l’étude des écoulements simples. Les théories mathématiques du potentiel complexe et de la transformation conforme, plus puissantes, permettent la détermination des écoulements autour des profils aérodynamiques à partir de l’écoulement autour d’un cylindre circulaire (fig. 3).

Mais la nature visqueuse des fluides, entraînant la formation d’une couche limite sur les obstacles et d’un sillage en aval, où l’écoulement est rotationnel, complique le problème et explique certaines divergences entre les schémas théoriques et les écoulements réels.

J. G.

P. Germain, Mécanique des milieux continus (Dunod, 1962). / E. A. Brun, A. Martinot-Lagarde et J. Mathieu, Mécanique des fluides (Dunod, 1968 ; 2 vol.). / A.-L. Lur’e, Mécanique analytique (trad. du russe, Masson, 1968 ; 2 vol.).

cinétique

Branche de la dynamique qui étudie les lois régissant le déplacement des corps dans le cadre de leur inertie. Elle s’occupe notamment de la quantité de mouvement, grandeur vectorielle produit de la masse par la vitesse, dont le moment par rapport à un axe porte le nom de moment cinétique ; elle s’occupe également de l’énergie de mouvement, grandeur scalaire appelée énergie cinétique ou, mais improprement, demi-force vive.
La cinétique ne doit pas être confondue avec la cinématique, qui étudie les caractéristiques du mouvement des corps (vitesse v et accélération γ), indépendamment de leur masse et des forces appliquées.

Généralités sur l’inertie

L’inertie, qui est une des notions essentielles de la cinétique, a été définie par sir Isaac Newton* de la façon suivante : « Tout corps persiste dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n’agisse sur lui et ne le contraigne à changer d’état. » Par corps, Newton entendait un système matériel de dimension assez faible pour pouvoir être réduit à son centre de gravité, ce que l’on désigne à présent sous le nom de point matériel. Cela revient à dire : Un point matériel existant seul dans l’espace possède une vitesse constante en grandeur et en direction, nulle dans le cas particulier du repos.

De la notion d’inertie est née celle de « force d’inertie » ainsi que celle des « moments d’inertie ». Chaque élément de volume est caractérisé par un paramètre numérique et scalaire qui lui est attaché, sa masse. Le produit de la masse m par l’accélération est un vecteur appelé force ; la force, qui est une notion métaphysique, est l’élément générateur de l’accélération. Toutes les forces ne sont pas de même nature. On distingue les forces extérieures au corps, les forces intérieures, ou forces de liaison, et la force d’inertie, qui est une force fictive de sens inverse de celui du vecteur accélération et dont la valeur est celle du vecteur accélération multipliée par la masse. À chaque instant, toutes les forces — dont les effets sont d’ailleurs indépendants les uns des autres — appliquées à l’élément de volume, y compris les forces de liaison et les forces d’inertie, se font équilibre.

Un point matériel en mouvement peut être considéré comme étant au repos — c’est-à-dire que les équations d’équilibre de la statique lui sont applicables — à la seule condition d’adjoindre aux composantes de la force extérieure (X_e, Y_e, Z_e) et de la force intérieure (X_i, Y_i, Z_i) les composantes de la force d’inertie :

Les problèmes de dynamique se trouvent de la sorte ramenés aux problèmes de la statique, grâce à cette force fictive (théorème de D’Alembert).

Moment d’inertie

Dans la rotation d’un corps ou d’un système matériel autour d’un axe, pour un point de masse m, le travail élémentaire de la force centrifuge m ω²r — ω²r étant l’accélération centrifuge —, pour un déplacement élémentaire dr est m ω²r dr, r étant la distance de ce point matériel à l’axe de rotation. En intégrant, on obtient l’énergie de mouvement du point, c’est-à-dire sa force vive, ou énergie cinétique :

Pour tous les points du corps ou du système en rotation, l’énergie cinétique totale est donc

L’expression Σ m r² est désignée sous le nom de moment d’inertie du corps ou du système par rapport à l’axe de rotation ; on représente ce moment d’inertie par I, et l’énergie cinétique de rotation a pour valeur Les moments d’inertie par rapport aux axes ont pour expression :

Le centre de gravité d’un corps est parfois désigné sous le nom de centre d’inertie.