Il se peut que la fonction f(x), dont on veut calculer l’intégrale définie soit développable en série entière, dans un intervalle de convergence ] – R, + R [ contenant l’intervalle [a, b]. Une primitive de f(x) est alors On est ramené ainsi au calcul approché d’une série.
Exemple. Par suite, la somme des deux premiers termes suffit pour obtenir une valeur approchée de l’intégrale à 10–3 près par défaut, soit 0,508.
Méthode des trapèzes
L’arc AB représente les variations de la fonction f(x) sur l’intervalle [a, b], où l’on veut calculer c’est-à-dire l’aire de la portion de plan limitée par le contour aABb. Pour cela, on partage l’intervalle [a, b] en n intervalles égaux, [a, x1], [x1, x2],..., [xn–1, b], d’amplitude et on remplace l’aire de chaque trapèze mixtiligne, tel que x1A1A2x2, par l’aire d’un vrai trapèze obtenu en remplaçant l’arc AiAi+1 par la corde AiAi+1 ; une valeur approchée I de l’intégrale définie est alors Si f(x) est monotone sur [a, b], croissante ou décroissante, une borne supérieure de l’erreur commise est
Pour un calcul numérique complet, il faut, bien entendu, tenir compte des erreurs introduites par le calcul lui-même et donner une évaluation totale de l’erreur. On peut perfectionner cette méthode et diminuer ainsi l’erreur.
E. S.
➙ Intégrale définie / Série.
G. Casanova, Cours de mathématiques spéciales, t. IV : Mécanique, calcul numérique, géométrie descriptive (Belin, 1957). / J. Kuntzmann, Méthodes numériques (Hermann, 1969).
calcul des prédicats
Calcul qui, englobant celui des propositions, rend aussi compte de leurs formes.
Le calcul des prédicats présuppose celui des propositions et le continue en ce sens qu’il décompose chaque proposition en un certain nombre d’éléments.
L’analyse des propositions
Considérons les trois propositions suivantes : (1) Russell est un logicien anglais ; (2) Abel est frère de Caïn ; (3) Blois est entre Tours et Orléans.
Dans chacune d’elles, on trouve au moins un nom singulier, un nom propre comme disent les grammairiens. Ces noms renvoient ici à des personnages ou à des cités. Nous dirons, d’une façon générale, qu’ils désignent des objets. La proposition (1) énonce une propriété de l’objet « Russell » : être un logicien anglais. La proposition (2) détermine simultanément les objets « Abel » et « Caïn », en disant que l’un est frère de l’autre. La proposition (3) détermine les objets « Blois », « Tours » et « Orléans », en indiquant que le deuxième est entre le premier et le troisième. Nous dirons qu’« être un logicien anglais », « être frère de », « être entre... et ... » sont des prédicats, à une, deux et trois places respectivement. Les prédicats à une place désignent des propriétés, et ceux à plus d’une place des relations.
Faisons maintenant les conventions d’écriture suivantes : (I) x1 désigne « Russell » ; x2 désigne « Abel » ; x3 désigne « Caïn » ; x4 désigne « Blois » ; x5 désigne « Tours » ; x6 désigne. « Orléans » ; (II) a désigne « être un logicien anglais » ; r désigne « être frère de » ; s désigne « être entre » ; (III) Le prédicat s’écrit avant les objets qu’il détermine.
Il est alors possible de retranscrire les trois propositions ci-dessus de la façon suivante : (1) ax1 (2) rx1x2 (3) sx1x2x3.
Les propositions sont ainsi analysées en prédicat et objet(s). Il faut cependant noter que cette façon de faire se distingue de l’analyse classique (aristotélicienne) en ceci que la copule (le verbe être) est englobée ici dans le prédicat et que l’ordre d’écriture ne suit pas celui du français. Là où les Anciens auraient écrit x1 est a, nous écrivons ax1.
Variables d’objets et de prédicats
L’analyse précédente fait voir que, dans tous les cas, nous aurons affaire à une classe d’objets et à des prédicats. Appelons Ω une classe d’objets quelconque. Selon le sujet traité, celle-ci pourra être une classe de nombres (arithmétique), de fleurs (botanique), d’individus (ethnologie), etc. Mais, pour élaborer un calcul manipulable et général, il convient de prendre deux dispositions : (I) Introduire des variables sur Ω, soit des variables d’objets que nous noterons par les lettres x, y, z ; (II) Se libérer du caractère particulier des différentes classes Ω. La chose est aisée dès que l’on remarque que les nombres, les fleurs ou les individus peuvent précisément être déterminés par un prédicat à une place. Ainsi, la classe Ω des nombres pourra se définir par {x | x est un nombre } soit « les x tels que x est un nombre » (v. classes et relations). Reste à savoir quels sont « les x » parmi lesquels on ne retient que ceux qui sont des nombres. Pour être le plus général possible, nous dirons que ce sont les objets de l’univers du discours. Cette façon de faire évite d’avoir à préciser la nature des objets dont on va traiter et est conforme à la pratique des mathématiciens qui commencent leurs discours par « soit un ensemble E » et qui spécifient ensuite le sous-ensemble qui fera l’objet de leur recherche.
Reste à savoir comment traiter des prédicats. Nous allons expliquer le procédé sur un exemple simple, en considérant l’ensemble Ω = df {Descartes, Kant} soit {x1, x2} et les prédicats a = df être un philosophe, b = df être Français, c = df être Allemand et d = df être un plaisantin.
Si x est une variable sur Ω, on peut considérer les quatre expressions ax, bx, cx et dx. Indiquons par 1 que la proposition obtenue en donnant à x l’une des valeurs de Ω est vraie et par 0 que la proposition est fausse. On a le tableau suivant.
Ce tableau est manifestement exhaustif, ce qui signifie (1) qu’on ne peut distinguer que quatre familles de prédicats à une place sur un ensemble de deux objets et (2) que la donnée de fi détermine entièrement les prédicats possibles.
soit développable en série entière,
c’est-à-dire l’aire de la portion de plan limitée par le contour aABb. Pour cela, on partage l’intervalle [a, b] en n intervalles égaux, [a, x1], [x1, x2],..., [xn–1, b], d’amplitude 
et on remplace l’aire de chaque trapèze mixtiligne, tel que x1A1A2x2, par l’aire d’un vrai trapèze obtenu en remplaçant l’arc AiAi+1 par la corde AiAi+1 ; une valeur approchée I de l’intégrale définie 
est alors
