Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
S

substitution (suite)

Les cycles obtenus sont d’ordre 4 ou 2. Comme on peut le vérifier, la décomposition ci-dessus signifie que, pour effectuer la substitution σ, on peut utiliser les trois cycles composants dans l’ordre que l’on veut. De plus, l’ordre de σ est égal à 4, p. p. m. c. de 4, 4 et 2, ce qui signifie que
σ4 = σ ◦ σ ◦ σ ◦ σ = IE.

• Tout cycle est décomposable en un produit de transpositions. Ainsi
(1, 2, ..., n) = (1, 2) (2, 3) ... (n – 1, n),
ce qui signifie que, pour effectuer le cycle (1, 2, ..., n), on peut utiliser dans cet ordre les substitutions (n – 1, n), puis (n – 2, n – 1), ..., (2, 3) et (1, 2), le produit de transformations s’écrivant et se lisant de gauche à droite, mais s’effectuant de droite à gauche. De la décomposition en produit de cycles on passe donc à la décomposition en produit de transpositions.

• Toute substitution est le produit de transpositions. Ainsi
σ = (1,3,6,8) (2,4,7,9) (5,10) =
= (1,3) (3,6) (6,8) (2,4) (4,7) (7,9) (5,10).

Enfin, on peut aller plus loin dans la décomposition en utilisant l’égalité
(hh + i) = (h + i – 1, h + i) (h + i – 2, h + i – 1) ... (h + 1, h + 2) (hh + 1) (h + 1, h + 2) ... (h + i – 2, h + i – 1) (h + i – 1, h + i),
qui montre que toute transposition est le produit de transpositions permutant des éléments consécutifs.


Parité d’une substitution

Une substitution σ dans E = {1, 2, ..., n} change ou conserve le signe du produit :

Si σ garde son signe à P, elle est dite paire ; sinon, elle est dite impaire.

Toute transposition est impaire. En effet, si dans P on permute i et j, les facteurs (i – j), (i – k) et (k – j), pour k = i + 1, ..., j – 1, changent de signe et P change de signe, puisqu’il y a un nombre impair de changements de signe. Par suite, la parité du nombre de transpositions est un invariant dans la décomposition d’une substitution. Une substitution paire est décomposable, de façon non unique, en un produit d’un nombre pair de transpositions. Une substitution impaire est le produit d’un nombre impair de substitutions. Comme le produit de deux substitutions paires est une substitution paire et que l’inverse d’une substitution paire est paire, l’ensemble, noté An, des substitutions paires opérant dans un ensemble de cardinal n est un groupe, appelé groupe alterné, sous-groupe distingué du groupe symétrique Sn. Comme le produit d’une transposition donnée par une substitution paire est une substitution impaire et inversement, il y a autant de substitutions paires que de substitutions impaires dans Sn. Il en résulte que l’ordre de An est raison pour laquelle An est distingué dans Sn.

Le groupe An est engendré par les n – 2 cycles (1, 2, i) = (1, i) (1, 2), pour i =3, 4, ..., n.

théorème de cayley
Tout groupe fini d’ordre n est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn.

En effet, si G est un groupe d’ordre n dont les éléments, écrits dans un certain ordre, sont a1, a2, ..., an et si b est un élément quelconque, mais fixé dans le groupe G, tous les produits pour i = 1, 2, ..., n sont distincts et les éléments sont tous les éléments de G qui forment simplement une permutation différente de la permutation a1, a2, ..., an. On peut ainsi associer à l’élément b du groupe G la substitution

À chaque élément du groupe G correspond une substitution, et deux éléments distincts du groupe G donnent deux substitutions distinctes, car bai = bai ⇔ b = b′. Si c appartient au groupe G, de sorte que, si c correspond à la substitution

au produit cb correspond la substitution

et l’on a σ = β ◦ α. L’application qui à un élément du groupe G associe une substitution du groupe symétrique Sn est un morphisme injectif du groupe G dans le groupe Sn. L’image du groupe G par cette application est donc un groupe, sous-groupe du groupe symétrique Sn.

Ce théorème a les conséquences suivantes : il n’existe qu’un nombre fini de groupes finis d’ordre n et non isomorphes entre eux. On épuise ces groupes en cherchant tous les sous-groupes d’ordre n du groupe Sn, lesquels sont en nombre fini, puisque n est fini, donc n! aussi, et que l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre d’un groupé. De plus, quand on donne à n toute valeur entière possible, on obtient tous les groupes finis possibles. Ces groupes forment donc un ensemble dénombrable, puisque cet ensemble est une réunion dénombrable d’ensembles finis.

On utilise les substitutions dans le développement d’un déterminant suivant les éléments d’une ligne ou d’une colonne.

Enfin, dans la théorie de Galois, conduisant à d’importants résultats sur les équations algébriques, le fait que, pour le groupe alterné An n’admet pas de véritable sous-groupe distingué joue un rôle essentiel.

Le groupe de Klein, V4

V4 est un sous-groupe du groupe symétrique S4 et du groupe alterné A4.

forment un groupe, car :

Ce groupe est commutatif. Les trois substitutions a, b et c sont caractérisées par la propriété suivante : échangeant deux éléments entre eux, elles permutent les deux autres. Cela est équivalent à : les substitutions a, b et c ne laissent aucun élément de E invariant et sont involutives.

V4 est sous-groupe distingué de S4 ou de V4. En effet, si α ∈ V4 et σ ∈ S4, pour α = e, σασ–1 ∈ V4.
Si α ≠ e, α2 = e et (σασ–1)2 = σασ–1 σασ–1 = σα2 σ–1 = σσ–1 = e.
De plus, si x ∈ E, si l’on avait σασ–1(x) = x, on aurait ασ–1 (x) = σ–1 (x) ou α [σ–1 (x)] = σ–1 (x) et l’élément σ–1 (x) de E serait invariant par α, ce qui n’est pas le cas. Donc σασ–1 (x) ≠ x et la substitution σασ–1 ∈ V4 d’après la deuxième forme de la propriété caractéristique des éléments de V4.

E. S.

➙ Combinatoire (analyse) / Déterminant / Groupe.