statique des fluides (suite)

Principe d’Archimède

Avant de préciser les équations locales de la statique des fluides, il est intéressant de considérer l’équation globale plus connue sous le nom de principe d’Archimède.

Soit un corps quelconque (C), de masse m et de centre de gravité G, immergé dans un fluide (liquide ou gaz) [fig. 3]. S’il est en équilibre dans le fluide, quelles sont les relations qui permettent de traduire cet équilibre ? D’après le principe fondamental de la statique, la résultante des forces appliquées à (C) est nulle. Ces forces comprennent les forces de volume, dont la résultante est le poids du corps et les forces de surface dues à l’action du fluide environnant, appliquées en chaque point M de la surface (S) et de résultante appelée poussée

La pression p en chaque point M de la surface (S) étant indépendante de la nature du milieu intérieur à (S), il en est de même des forces élémentaires En particulier, si, à la place du corps, se trouvait un volume (v) du même fluide délimité par la surface (S), ce volume serait soumis à la même poussée . Comme le fluide est en équilibre, l’intégrale correspondant au poids du volume (v) de fluide. Ce résultat permet d’énoncer le principe d’Archimède :
La poussée exercée par un fluide sur un corps immergé est égale et directement opposée au poids du fluide déplacé, et la ligne d’application de cette poussée passe par le centre de poussée P confondu avec le centre de gravité du volume déplacé.

Le corps (C) étant en équilibre sous l’action de son poids appliqué au centre de gravité G et de la poussée passant par le centre de poussée P, les positions d’équilibre du corps correspondront à l’alignement des deux points G et P sur une même verticale. L’équilibre sera stable si le centre de gravité du corps est situé sous le centre de poussée. Déplacé légèrement de cette position d’équilibre, le corps revient naturellement à sa position initiale.

Le principe d’Archimède a reçu de multiples applications. Le densimètre, par exemple (fig. 4), est un appareil de mesure de la densité d’un liquide ou encore de sa masse volumique. Il est constitué d’une chambre en verre lestée par de la grenaille et d’une tige graduée. Plongé dans un liquide, il s’enfonce jusqu’à ce qu’il déplace son propre poids de liquide. Correctement calibré, il peut donc donner directement la masse volumique du liquide par simple lecture de la graduation de la tige affleurant la surface libre.

Hydrostatique

L’hydrostatique s’intéresse à l’équilibre des liquides. La masse volumique de ceux-ci étant supposée constante, il est possible d’intégrer l’équation de la statique des fluides
p – p₀ = – ρg (z – z₀),
soit encore
p + ρ gz = constante.

Cette équation fondamentale de l’hydrostatique permet, par exemple, de calculer la pression de l’eau à une profondeur donnée. Si la pression atmosphérique sur la surface libre de l’eau est de 1 bar = 10⁵ N/m², la pression à 100 m de profondeur a pour valeur p = 10,81 bar, soit plus de dix fois la pression atmosphérique ; on comprend mieux alors les problèmes physiologiques que pose la plongée sous-marine. De nombreux appareils de mesure tels que manomètres ou baromètres utilisent directement, dans leur principe, l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

Un baromètre est un appareil donnant la valeur locale de la pression atmosphérique p_a. Un tube fermé à l’une de ses extrémités et rempli d’un liquide de masse volumique ρ est retourné dans un vase contenant le même liquide (fig. 5). Un vide se forme dans la partie supérieure du tube (p_A = 0), et le niveau du liquide dans le tube se stabilise à la hauteur h par rapport à la surface libre du liquide dans le vase. La surface libre étant à la pression atmosphérique p_a que l’on se propose de mesurer (p_B = p_a), l’équation fondamentale de l’hydrostatique entre A et B s’écrit p_A + ρgz_A = p_B + ρgz_B, soit p_a = ρgh.

La pression atmosphérique normale correspond à une hauteur de 76 cm de mercure ; ainsi, p_an = 1,013 bar. Cette valeur définit l’unité de pression appelée atmosphère.

Principe de Pascal

C’est une conséquence directe de l’hydrostatique. Soit deux points A et B au sein d’un liquide au repos : p_B – p_A = ρg (z_A – z_B). Lorsque les deux points sont fixes (z_A – z_B = constante), la différence p_B – p_A reste constante quelle que soit la valeur de ces pressions. Si, en A, on augmente la pression de Δp, la pression en B varie de la même quantité, ce que l’on peut énoncer de la manière suivante : dans un liquide au repos, les pressions se transmettent intégralement.

Les applications directes du principe de Pascal sont nombreuses : presse, vérin, frein hydrauliques ; l’utilisation d’une transmission hydraulique dans le freinage d’un véhicule permet, par exemple, une amplification des efforts et l’uniformité du freinage sur les quatre roues. L’action sur la pédale de frein, amplifiée par un levier, correspond à une force exercée sur le piston de section S du maître cylindre (fig. 6). La pression p de l’huile se transmet intégralement au niveau des deux pistons récepteurs de section S′. Chacun d’eux, soumis à une force déplace un segment qui vient s’appliquer sur la surface intérieure du tambour de frein solidaire de la roue. Le principe de Pascal permet d’exprimer directement l’amplification des efforts :

Aérostatique

La masse volumique des gaz étant variable, l’intégration de l’équation fondamentale de la statique des fluides (dp = – ρg dz) nécessite la connaissance de la fonction ρ (z), a priori inconnue. Si le gaz peut être assimilé à un gaz parfait, son équation d’état est telle que, pour deux points d’altitude z et z₀, ce qui entraîne

La connaissance de la variation de la température avec l’altitude ou avec la pression permet alors de préciser la fonction p(z). Dans le cas de l’atmosphère terrestre, la nature des échanges thermiques entre masses d’air donne cette loi. Par exemple, dans la troposphère (couche atmosphérique située entre la surface terrestre et une altitude moyenne de 11 km), l’évolution est polytropique Ainsi, à partir du niveau de la mer (z₀ = 0, p₀ = p_a),

Température et pression décroissent avec l’altitude, la variation de la température étant linéaire.

J. G.

 E. A. Brun, A. Martinot-Lagarde et J. Mathieu, Mécanique des fluides (Dunod, 1959 ; nouv. éd., 1968, 2 vol.). / H. Gié, Statique des solides et des fluides (Baillière, 1963).