statique des fluides

Branche la plus anciennement connue de la mécanique des fluides (le principe d’Archimède est vieux de 2 000 ans), qui étudie les conditions d’équilibre des fluides au repos et les actions de ces fluides sur les corps solides immergés. Comme la viscosité ne se manifeste que s’il y a mouvement, les équations de la statique sont indépendantes de la nature du fluide et seront vérifiées pour des milieux aussi divers que l’air, l’eau ou le mercure.

Pression dans un fluide au repos

Soit un volume (v) quelconque au sein d’un fluide au repos et, sur la surface délimitant ce volume, un élément d’aire ds entourant un point M (fig. 1). L’expérience montre que la force élémentaire de contact exercée par le fluide extérieur à (v) sur la surface ds est normale à cet élément de surface et dirigée vers l’intérieur de (v). Si l’on fait tendre ds vers zéro, on définit la pression p au point M par la relation

étant le vecteur unitaire normal à l’élément de surface dirigé vers l’extérieur de (v).

En 1744, d’Alembert écrivait dans l’Encyclopédie : « [...] les philosophes, étant incapables de déduire immédiatement et directement de la nature des liquides les lois de leur équilibre, les ont réduites du moins à un seul principe d’expérience, l’égalité de pression dans toutes les directions, qu’ils ont regardé comme la propriété fondamentale des fluides. »

La pression p, indépendante de l’orientation de l’élément de surface centré en M, varie avec la position du point M. Le premier problème posé en statique des fluides est donc la détermination de la loi de variation p (M) = p (x, y, z).

Équation fondamentale de la statique des fluides

Le principe fondamental de la statique des systèmes matériels permet d’exprimer cette équation. Soit un cylindre élémentaire (v) de fluide, de génératrices parallèles à l’axe (verticale ascendante), de hauteur dz et dont les bases ont pour aire ds (fig. 2). Au centre de gravité G, la pression est p et la masse volumique ρ. Les forces de surface sur les deux bases du cylindre s’écrivent

et

Les forces de volume correspondent au poids En projection sur l’axe , la condition d’équilibre du cylindre donne l’équation fondamentale de la statique des fluides :
dp = – ρg dz.

Cette équation entraîne deux remarques :
— La pression p décroît lorsque l’altitude z augmente. En escaladant une montagne, on constate que la pression de l’air ambiant diminue. Par contre, en plongée sous-marine, l’homme est confronté à des augmentations importantes de la pression ;
— La variation dp de la pression est nulle lorsque la variation d’altitude dz est nulle, ce qui fait que les surfaces d’égale valeur de la pression (surfaces isobares) sont des plans horizontaux. Cela explique, en particulier, que la surface libre d’un liquide est un plan horizontal.

L’accélération de la pesanteur g étant supposée constante dans un domaine fluide fini, l’intégration de l’équation précédente nécessite la connaissance de la fonction ρ (M), précisée par l’équation d’état du fluide.

Équation d’état

L’expérience montre qu’à l’équilibre et en chaque point M la masse volumique ρ ne dépend que de la pression p et de la température absolue T en ce point. Il existe ainsi une fonction f (p, ρ, T) = 0, appelée équation d’état du fluide. Cette équation, au voisinage d’un équilibre donné (p₀, ρ₀, T₀), peut s’écrire sous la forme

soit encore, pour de faibles variations de p et de T,

α, coefficient de dilatabilité cubique, et χ, coefficient de compressibilité, étant fonctions de p₀ et de T₀.

• Les liquides ont des valeurs de α et de χ très petites, ce qui entraîne que, le plus souvent, on considère la masse volumique des liquides comme constante (de tels fluides sont dits « incompressibles »). L’équation d’état se réduit alors à ρ = ρ₀. À titre d’exemple, pour l’eau, dans les conditions normales (20 °C, 1 bar), α = 2 · 10^–4 (°K)^–1 et χ = 5 · 10^–10 m²/N.

Si l’on néglige la plupart du temps la variation de la masse volumique des liquides en fonction de la température et de la pression, il n’est plus possible de la négliger dans certains phénomènes.
— La dilatabilité des liquides est la cause de la convection naturelle. Le refroidissement, la nuit, de la surface libre d’un plan d’eau est tel que l’eau, en profondeur, étant plus chaude, a une masse volumique plus faible que près de la surface libre. L’eau chaude s’élève tandis que l’eau froide descend.
— La compressibilité des liquides, quant à elle, est liée à la propagation des ondes au sein de ces liquides. La propagation d’ondes élémentaires telles que les ondes acoustiques se fait à la vitesse a (pour éviter toute confusion avec la vitesse de points matériels, on préfère parler de célérité), et l’on montre que pour un fluide isolé thermiquement de l’extérieur. Ainsi, pour l’eau, a = 1 480 m/s. Le sonar, par exemple, met à profit la compressibilité de l’eau pour détecter les sous-marins par émission d’ultrasons.

• Les gaz, lorsqu’ils ne sont pas trop comprimés (on parle alors de gaz parfaits), vérifient l’équation d’état où La constante universelle R a pour valeur R = 8,316 7 J/°C, et M est la masse molaire du gaz. Pour l’air, M = 29 g, ce qui donne r = 287 J/kg °C.

D’autre part, la compressibilité et la dilatabilité des gaz sont beaucoup plus grandes que celles des liquides. Pour les gaz parfaits, Ainsi, au voisinage d’un équilibre du gaz correspondant aux conditions normales, α = 3,4 · 10^–3 (K)^–1 et χ = 10^–5 m²/N.

En conclusion, l’équation d’état permet de distinguer les fluides : pour les liquides, la masse volumique est supposée généralement constante ; pour les gaz, elle est essentiellement variable. Les deux domaines d’étude correspondants sont l’hydrostatique et l’aérostatique.