statique (suite)

Réduction des forces appliquées à un solide

On a intérêt à réduire, par des opérations élémentaires, les forces appliquées à un solide à un système aussi simple que possible. Les deux opérations les plus faciles et les plus fréquentes concernent le cas où les forces sont concourantes et le cas où elles sont parallèles.

• Forces concourantes
On peut les réduire à une force unique  ; le moment linéaire par rapport à un point O quelconque est la somme des moments des composantes. Si la force est nulle, les forces se font équilibre.

• Forces parallèles

• Cas de deux forces parallèles et de même sens. Les deux forces et sont appliquées en deux points A₁ et A₂ d’un solide. En ces deux points, on applique deux forces et , égales et directement opposées, que l’on compose avec et . On obtient deux forces et , qui concourent en un point M. Transportées en M, les deux forces et deviennent et . On décompose en deux forces et , égales et parallèles à et  ; de même, est décomposée en deux forces et , égales et parallèles à et . Les forces et , égales et directement opposées, se détruisent ; les deux autres, et , dirigées dans le même sens, suivant la parallèle MA aux deux forces et , se composent en une seule force parallèle aux composantes et de même sens qu’elles. Pour déterminer la ligne d’action MA de la force , il suffit de déterminer le point A, où elle coupe le segment de droite A₁A₂ ; ce point est entre A₁ et A₂.

Les triangles F₁Q₁A₁ et AA₁M étant semblables, on a

De même, pour les triangles F₂Q₂A₂ et AA₂M, on a

En divisant membre à membre et du fait que H₁ = H₂, on a

Deux forces parallèles et de même sens ont une résultante parallèle de même sens, placée entre les composantes, égale à leur somme ; la ligne d’action de cette résultante divise la droite joignant les points d’application des composantes en deux segments inversement proportionnels aux composantes. Le point A ainsi obtenu est le point d’application de la résultante. Ce point reste le même si les composantes changent d’intensité, sans que leur rapport soit modifié.

• Cas de deux forces parallèles, inégales et de sens contraires. Si et sont les deux forces appliquées en A₁ et en A₂ on prend, sur le prolongement de A₂A₁, du côté de la plus grande des forces , un point A tel que En ce point A, on applique deux forces égales et opposées et , d’intensité (F₁ – F₂), parallèles à et à , l’une, ayant le sens de , l’autre, ayant le sens opposé. Les deux forces et ont une résultante égale et opposée à . Cette résultante de et de étant égale et opposée à , l’ensemble , et peut être supprimé, et il reste la force appliquée en A. Deux forces parallèles inégales et de sens contraires ont une résultante parallèle de même sens que la plus grande, placée à l’extérieur des composantes, égale à leur différence ; la ligne d’action de cette résultante divise la droite joignant les points d’application des composantes en deux segments inversement proportionnels aux composantes.

• Cas de deux forces parallèles, égales et de sens contraires. Il s’agit d’un couple. Le point A est rejeté à l’infini. Le moment d’un couple est le même par rapport à tout point de l’espace.

• Cas de n forces parallèles On remplacera par leur résultante , que l’on composera avec . On obtiendra une nouvelle résultante, que l’on composera avec , et ainsi de suite. L’intensité de la résultante est la somme algébrique des intensités des composantes. La résultante, si elle est différente de zéro, est appliquée en un point O, qui est le centre des forces parallèles.

Centre de gravité

C’est le point du corps par lequel passe constamment la verticale de son poids, quelle que soit son orientation. C’est le centre des forces parallèles attachées à tous les points du corps.

Expression des coordonnées du centre de gravité d’un corps

Si m₁, m₂, ..., m_n sont les masses des différents points matériels composant le corps, p₁, p₂, ..., p_n leurs poids, x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂, ..., x_n, y_n, z_n leurs coordonnées, les coordonnées x₀, y₀, z₀ du centre de gravité seront

et, en appelant M la masse du corps, ces coordonnées x₀, y₀, z₀ ont pour valeur

Théorèmes relatifs aux centres de gravité

• Quand un système matériel admet un centre de symétrie, son centre de gravité se confond avec son centre de symétrie.

• Quand un système matériel plan admet un diamètre rectiligne conjugué d’une direction de cordes, le centre de gravité du système est sur ce diamètre.

Un système plan admet un diamètre D conjugué d’une direction de cordes D′ quand on peut le diviser en couples d’éléments matériels A et B, tels que A ait même masse que B, que les cordes AB soient parallèles à D′ et qu’enfin leurs milieux soient sur D. Dans ce cas, le centre de gravité de chaque couple A et B est sur D. Le centre de gravité du système total y est aussi.

• Quand un système matériel admet un plan diamétral d’une certaine direction de cordes, le centre de gravité du système est dans ce plan.

Ce plan peut être divisé en couples d’éléments A et B de même masse ; les cordes AB sont parallèles à D′, et leurs milieux sont dans le plan P.

M. D.

➙ Dynamique / Mécanique / Vecteur.

 P. Appell et J. Chappuis, Leçons de mécanique élémentaire (Gauthier-Villars, 1903 ; 3^e éd., 1909, 2 vol.). / H. Bouasse, Cours de mécanique rationnelle et expérimentale (Delagrave, 1910) ; Statique (Delagrave, 1921). / M. Lecornu, Cours de mécanique professés à l’École polytechnique (Gauthier-Villars, 1914-1918 ; 3 vol.). / Soc. acad. Hütte, Des Ingenieurs Taschenbuch (Berlin, 1951-1955, 5 vol. ; trad. fr. Manuel de l’ingénieur, Béranger, 1960-192 ; 2 vol.).