statique (suite)

• Cas particulier de trois forces. La condition nécessaire et suffisante d’équilibre du point est que la somme géométrique de ces trois forces soit nulle, c’est-à-dire que celles-ci soient parallèles et égales aux côtés d’un triangle OF₁A, parcouru dans un même sens. Cela revient à exiger que les trois forces soient concourantes, dans un même plan, que chacune soit à l’extérieur de l’angle des deux autres et enfin qu’elles soient chacune proportionnelles au sinus de l’angle formé par les deux autres :

Équations d’équilibre d’un point libre

On projette sur trois axes, Ox, Oy, Oz, les forces , , ..., , appliquées au point considéré, X₁, Y₁, Z₁ étant les projections de , X_n, Y_n, Z_n, celles de et X, Y, Z celles de la résultante de toutes ces forces. L’équilibre est atteint si cette résultante est nulle, c’est-à-dire si la somme des projections de chaque composante sur les trois axes est nulle ; on a donc
Σ X = 0, Σ Y = 0 et Σ Z = 0.
Ce sont les trois équations d’équilibre d’un point libre.

Équilibre d’un point matériel non libre

Équilibre d’un point sur un plan incliné. Frottement

Un point pesant posé sur un plan horizontal demeure immobile, car ce plan développe une force, appelée réaction, égale et opposée au poids p du point. Si l’on place ce point sur un plan incliné faisant un angle α avec l’horizontale, le point étant posé immobile et supposé pouvoir glisser, mais non rouler, il restera immobile tant que l’angle α demeurera inférieur à un angle φ ; pour le point se met à glisser : l’angle φ est l’angle de frottement, qui ne dépend pas du poids p du point, mais seulement de la nature des surfaces en contact. Tout se passe comme si le plan développait une réaction R faisant équilibre au poids p tant que l’angle du poids p vertical avec la normale au plan est inférieur à φ. En décomposant la force en deux forces, l’une normale au plan, l’autre dirigée suivant la ligne de plus grande pente, la condition d’équilibre est

La quantité tg φ est le coefficient de frottement au départ, que l’on désigne par f. Il y a donc équilibre tant que l’on a

La réaction du plan, égale et opposée à p, peut se décomposer également en une réaction normale et en une réaction tangentielle . L’équilibre est réalisé si

Équilibre d’un point sur un plan sous l’action de forces quelconques

Si un point m pouvant glisser sur un plan est sollicité par des forces , , ..., (y compris le poids de m), il ne bougera pas tant que la résultante des forces appliquera le point contre le plan et fera avec la normale au plan un angle inférieur à l’angle de frottement φ. L’équilibre du point m est maintenu tant que la résultante des forces appliquées se trouve à l’intérieur d’un cône, appelé cône de frottement, ayant pour sommet le point m, pour axe la verticale passant par ce point et pour demi-angle au sommet l’angle φ. Si et sont les composantes de la résultante , et et celles de la réaction du plan, on a à la fois et À la limite (frottement nul), la condition d’équilibre est que la résultante F soit normale au plan et qu’elle y applique le point m.

Équilibre d’un point mobile sans frottement sur une courbe fixe

La condition d’équilibre de ce point est que la résultante des forces soit nulle ou située dans le plan normal à la courbe C en m.

Équilibre d’un point mobile sans frottement sur une surface fixe.

La condition d’équilibre de ce point m est que la résultante des forces, si elle n’est pas nulle, soit normale à la surface.

Principe de la solidification

Si des forces se font, à un moment donné, équilibre sur un système de forme variable quelconque, l’équilibre persistera en supposant que le système (ou une partie du système) soit rendu tout à coup invariable, c’est-à-dire vienne à se solidifier.

Inversement, si, pour certaines liaisons, on parvient à certaines conditions d’équilibre, ces conditions subsistent a fortiori lorsqu’on supprime une partie des liaisons.

Statique des corps solides libres

Réduction des forces appliquées à un solide libre

Une force est appliquée à un solide quand elle agit sur un des points matériels du solide, appelé point d’application de la force. Un solide, sollicité par un ensemble de forces, est en équilibre quand, abandonné à lui-même, sans vitesse, sous l’action de ces forces, il reste immobile sans se déformer. Un solide n’est jamais en équilibre sous l’action d’une seule force ; s’il est posé sur un plan horizontal, il y a deux forces en présence : son poids et la réaction du plan. L’équilibre exige que ces deux forces soient égales et directement opposées.

Si un corps solide est sollicité par un nombre quelconque de forces, on peut, sans changer son état, ajouter aux forces existantes deux forces égales, directement opposées. On peut aussi enlever deux forces égales et directement opposées. On peut également, sans changer l’effet d’une force, la transporter en un point quelconque (lié au solide) de sa ligne d’action. On peut enfin remplacer des forces concourantes par leur résultante ou, inversement, décomposer une force en des forces concourantes. Ces opérations sont appelées opérations élémentaires.

Invariance de la somme géométrique des forces et de leur moment résultant par rapport à un point

Si , , ..., sont des forces appliquées à un solide en un point O quelconque de l’espace, on peut construire le vecteur , qui est leur somme géométrique, et le vecteur , vecteur moment résultant de ces forces par rapport à ce point. Si l’on mène par le point O du vecteur équipollent aux forces précédentes leur somme géométrique est . En construisant ensuite les moments linéaires des forces par rapport à O, leur somme géométrique est le moment résultant des forces par rapport à O. Ces opérations élémentaires n’altèrent pas les deux vecteurs et . Donc, si, par ces opérations élémentaires, on transforme le système des forces en un autre, ce nouveau système aura même somme géométrique et même moment résultant .