Éd. 1971-1976

raisonnement (suite)

Le schéma de ce raisonnement est le suivant :
P : p est le plus petit des exposants des éléments de H ;
Q : H est identique au groupe (a^p) engendré par a^p.
: il existe a^r ∈ H avec r non multiple de p ; : p n’est pas le plus petit exposant.

D’où contradiction et Q est vraie puisque est fausse.

Le raisonnement par l’absurde est utilisé en géométrie, mais aussi en arithmétique et en algèbre comme le montre l’exemple précédent qui est abstrait, mais pas autant qu’un raisonnement axiomatique pur.

Raisonnement axiomatique

Ce type de raisonnement déductif dont l’originalité n’est pas dans le schéma logique, mais dans le champ d’application, consiste à tirer toutes les conséquences logiques d’un système d’axiomes posés abstraitement. Ces conséquences sont des propriétés de certains des éléments des ensembles dans lesquels on a défini le système d’axiomes.

Exemple de raisonnement axiomatique : axiomes faibles des groupes

E est un ensemble muni d’une opération interne associative, notée multiplicativement, telle qu’il existe un élément e ∈ E satisfaisant aux deux conditions suivantes :
pour tout x de e, xe = x ; (1)
pour tout x de e, il existe un élément y ∈ E tel que xy = e. (2)
En appliquant la condition (1), on a : x ∈ E, ∃y ∈ E tel que xy = e. En appliquant la condition (2), on a ∃z ∈ E tel que yz = e. Alors,
yx = (yx)e = (yx)(yz) = y(xy)z =
= yez = (ye)z = yz = e,
cela en appliquant successivement (1), (2), l’associativité, (2), l’associativité, (1) et (2).

De plus, ex = (xy) x = x (yx) = xe = x. On a ainsi montré l’existence d’un élément neutre, e et, pour tout élément x, celle d’un élément symétrique, y, tel que xy = yx = e. L’ensemble E est un groupe.

L’axiomatique, ou méthode axiomatique, est extrêmement utilisée dans les mathématiques puisqu’il faut essayer de donner à chaque théorie la forme la plus pure possible.

E. S.

➙ Axiomatique (méthode) / Ensemble / Groupe / Logique / ℕ / Topologie.

J. G. Kemeny, J. L. Snell et G. L. Thompson, Introduction to Finite Mathematics (Englewood Cliffs, N. J., 1957 ; trad. fr. Algèbre moderne et activités humaines, Dunod, 1960, 3^e éd., 1969). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966) ; les Mathématiques modernes (Éd. du Seuil, coll. « Microcosme », 1969). / G. Casanova, l’Algèbre de Boole (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1967 ; 3^e éd., 1972). / P. R. Halmos, Naive Set Theory (New York, 1960 ; trad. fr. Introduction à la théorie des ensembles, Mouton et Gauthier-Villars, 1967). / R. Blanche, le Raisonnement (P. U. F., 1973).

Rājasthān

État du nord-ouest de l’Inde ; 342 000 km² ; 25 720 000 hab. Capit. Jaipur.

La situation

Le Rājasthān arrive au deuxième rang des États de l’Inde pour la superficie. Mais il est situé dans une région de milieu naturel défavorable, et la densité de la population y est relativement faible (75 hab. au km²). L’État ne vient qu’au dixième rang dans un classement selon la population.

Le Rājasthān est situé près de la frontière nord-occidentale de l’Inde, entre le Madhya Pradesh, le Pendjab, le Gujerat et le Pākistān. Il doit son unité à une vieille tradition historique et à la domination d’un groupe bien défini, celui de l’aristocratie rājpūte. Il s’agit là d’une caste de « guerriers » ou de souverains, celle des kṣatriya. Ces Rājpūts ont commencé à organiser des États de dimensions variées au vi^e et au vii^e s. Très attachés à l’hindouisme, ils ont constamment opposé une énergique résistance à l’islamisation et aux souverains musulmans, comme ceux du sultanat de Delhi, puis de l’Empire moghol. Ils ont souvent été amenés à accepter un certain contrôle du pouvoir central des États de l’Inde du Nord, mais ont toujours réussi à sauvegarder un grand degré d’autonomie. Il en a d’ailleurs été de même sous la domination britannique ; le « Rājputāna » formait une terre de petits États princiers sous protectorat, entre les régions sous contrôle direct de la plaine du Gange et de la présidence de Bombay. Lors de l’accession de l’Inde à l’indépendance, ces États ont été fusionnés, non sans mal d’ailleurs, pour former le Rājasthān actuel. L’importance de la tradition princière kṣatriya se marque de nos jours dans la puissance des traditions locales, le rôle politique considérable des anciens souverains, la force des partis politiques traditionalistes et la beauté de certaines des anciennes capitales princières, comme Udaipur et Jaipur, célèbres par leurs palais de grès rouge ou de marbre. Le Rājasthān fait partie d’une bande relativement peu peuplée, entre les grandes concentrations humaines de la plaine du Gange et les foyers d’activité de la péninsule. Il doit sans doute ce vide démographique relatif aux inconvénients du milieu naturel. En effet, le nord-ouest de l’Inde ne reçoit que très indirectement les masses d’air de la mousson, qui ne l’atteignent qu’après avoir perdu une grande partie de leur humidité. Près de la frontière pakistanaise, la pluviosité moyenne annuelle ne dépasse guère 300 mm, et il y a d’importantes variations d’une année à l’autre, si bien que les conditions offertes à l’agriculture sont extrêmement précaires. La partie orientale de l’État est plus arrosée (de 700 à 800 mm), mais les sols sont assez médiocres. Il n’est pas étonnant dans ces conditions que les Rājasthānais aient fourni des effectifs importants d’émigrants aux autres régions de l’Inde.

Selon le relief, la nature du sol et le climat, le Rājasthān se subdivise en trois ensembles bien distincts, de part et d’autre d’un axe montagneux central, les monts Arāvalli.