Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
P

(suite)

On déduit de ces propriétés :
1o que tout élément de ℚ* est régulier :
x, y et z ∈ ℚ*, xy = xz ⇒ y = z ;
2o que ∀a et b ∈ ℚ*, ∃x = c ∈ ℚ*, unique tel que ax = b ;
3o qu’il existe un isomorphisme entre (ℤ*, ×) et une partie de (ℚ*, ×). À tout élément m ∈ ℤ*, on peut associer de façon biunivoque le rationnel on définit ainsi la bijection φ de ℤ* dans ensemble des rationnels non nuls de dénominateur 1, telle que ∀(mn) ∈ ℤ* × ℤ* :

φ est un isomorphisme de (ℤ*, ×) sur On convient d’identifier avec (ℤ*, ×), c’est-à-dire le rationnel avec l’entier relatif m ;
4o qu’il existe un sous-groupe multiplicatif de (ℚ*, ×).

Tout rationnel dont un représentant vérifie ab > 0 est dit strictement positif. L’ensemble des rationnels positifs est un sous-groupe multiplicatif de ℚ*.


Addition des rationnels

On appelle somme de deux couples de rationnels (ab) et (a′, b′) pris dans cet ordre, le couple
(ab′ + ba′, bb′) = (ab) + (a′, b′) ;
cette égalité définit son second membre, et l’on vérifie que le couple somme est indépendant des représentants choisis pour les fractions (ab) et (a′, b′).


Propriétés de l’addition dans ℚ

L’addition dans ℚ est :

Il existe un élément neutre, l’élément 0, tel que
x + 0 = 0 + x = x.

Tout élément de ℚ possède un symétrique, ou opposé : l’oppose de est

(ℚ, +) est un groupe commutatif.

La loi × est distributive par rapport à la loi + ; ℚ* = ℚ – {0} est un groupe commutatif ; ces trois propriétés confèrent à ℚ une structure de corps commutatif : (ℚ, +, ×) est le corps des rationnels.

• ℚ est totalement ordonné par la relation, notée définie par ensemble des rationnels non négatifs (x inférieur ou égal à y). Cette relation est réflexive, antisymétrique et transitive ; c’est donc une relation d’ordre, total, puisque deux rationnels quelconques peuvent être comparés à l’aide de cette relation. De plus, cette relation est compatible avec la loi + dans ℚ :

est un groupe ordonné.

Enfin
est un corps totalement ordonné.

• Valeur absolue d’un rationnel.

Si x ∈ ℚ+, |x| = x ; si x ∈ – ℚ+, |x| = – x ; |x| désigne la valeur absolue de x ; on a
x et y ∈ ℚ, |xy| = |x||y|
et l’inégalité triangulaire

• L’ensemble des rationnels est archimédien :
x ∈ ℚ*, ∀y ∈ ℚ, ∃n ∈ ℕ : n|x| > y.

• L’ensemble des rationnels est dénombrable, c’est-à-dire peut être mis en correspondance biunivoque avec l’ensemble ℕ. En effet, on peut ordonner l’ensemble des fractions irréductibles en posant si |p| + q < |p′| + q′ ou si |p| + q = |p′| + q′ et p < p′.

Cet ensemble se met alors sous la forme d’une suite infinie de parties finies disjointes :

E. S.

➙ Anneau / Continu (puissance du) / Groupe / / / .

 P. Dubreil, Algèbre (Gauthier-Villars, 1955). / J. Itard, Arithmétique et théorie des nombres (P. U. F., coll. « Que sais-je ? » 1964 ; 3e éd., 1973) / L. Chambadal et J. L. Ovaert, Cours de mathématiques, t. I : Notions fondamentales d’algèbre et d’analyse (Gauthier-Villars, 1966). / J. Lelong-Ferrand et J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques (Dunod, 1971-72 ; 2 vol.).