Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
Q
Q

Qaṭar

État du golfe Persique. Lié par un traité de 1868 (renouvelé en 1916) à la Grande-Bretagne, l’État est devenu indépendant en 1971.


À la différence des autres petits États voisins (v. Trucial States), le Qaṭar a une individualité géographique précise. C’est une péninsule calcaire de direction nord-sud, atteignant 80 m d’altitude, correspondant à un dôme anticlinal qui fait partie des plis de couverture de l’est de la plate-forme arabique. Jusqu’à la découverte du pétrole, la vie se concentrait dans le petit port de al-Dūḥa (Doha), sur la côte est de la péninsule, centre de pêche perlière, environné de palmeraies partiellement abandonnées. L’intérieur était à peu près vide. Quelques puits, sans doute alimentés par des nappes profondes en provenance de l’Arabie centrale, y localisaient des tours de refuge abritant les bergers semi-nomades de la côte contre les Bédouins, qui leur disputaient le pays.

Les premiers et plus importants gisements pétrolifères, exploités depuis 1949, se situent près de la côte occidentale, au djebel Dukhān, d’où un oléoduc conduit le brut vers le port en eau profonde d’Umm Sa‘īd, sur la côte orientale. Deux petits gisements sous-marins, à l’est de la côte, s’y sont ajoutés depuis 1964. La production a atteint 24,7 Mt en 1974.

L’économie reste fondée sur l’exportation du pétrole, mais l’exploitation de celui-ci n’occupait que 1 300 personnes en 1969. Une amorce d’industrialisation est récemment apparue. À Umm Bāb, au sud du champ pétrolifère du djebel Dukhān, s’est installée une cimenterie fonctionnant au gaz naturel à partir du calcaire de la région et, plus récemment, une usine d’engrais chimiques (urée et ammoniaque) a été implantée à Umm Sa‘īd.

L’essor de la population a été rapide. Les estimations les plus plausibles concordent autour de 100 000 habitants en 1975, mais d’autres évaluations allaient jusqu’à 130 000 habitants dès 1970. La population a, en tout cas, au minimum triplé en vingt ans. Plus de la moitié doit être composée d’immigrants récents, surtout en provenance des États arabes du Croissant fertile (v. Moyen-Orient), qui ont fourni de la main-d’œuvre non qualifiée, mais aussi des cadres et du personnel enseignant (également égyptien). Iraniens et Omanis, aussi, sont nombreux. Comme dans les autres petits États pétroliers du golfe Persique, l’immigration et l’acquisition de la nationalité sont sévèrement contrôlées, mais le nombre des entrées illégales a été considérable.

Cet afflux de population s’est essentiellement concentré à al-Dūḥa, qui doit grouper près des trois quarts de la population totale et dont la reconstruction de type moderne, avec l’édification de banlieues résidentielles (Rayyān à 5 km à l’ouest), a absorbé jusqu’à présent la majeure partie des ressources nouvelles. Le village de Khawr, à 90 km au sud d’Umm Sa‘īd, est, avec cette dernière localité, le seul centre notable en dehors de la capitale et des petites agglomérations pétrolières de l’Ouest. L’accroissement de la population a déclenché une extension des jardins irrigués en divers points.

X. P.

 B. Gérard, Qatar (Delroisse, 1974).

quadratique sur un espace vectoriel E sur un corps K (forme)

Application Q : E → K, qui s’exprime, dans chaque base de E, sous la forme d’un polynôme homogène de degré deux des variables coordonnées.


Si E = ℝ3 est l’espace euclidien de dimension trois, tout vecteur de ℝ3 s’exprime sous la forme dans la base  ; la forme quadratique la plus générale sur ℝ3 est

avec Ai et Bi ∈ ℝ, i = {1, 2, 3}.

De façon générale, E étant un espace vectoriel de dimension finie n, si étant une base de E,

les éléments ai et aij appartenant au corps K, sur lequel est construit l’espace vectoriel E. La forme quadratique s’obtient à partir d’une forme bilinéaire symétrique B sur E, c’est-à-dire une forme bilinéaire telle que et l’on a

En effet,

et, si B est symétrique, bij = bji ; d’où

qui est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux variables coordonnées, contenant tous les termes carrés et tous les termes rectangles. La forme bilinéaire symétrique B est dite associée à la forme quadratique Q ; c’est la forme polaire de la forme quadratique Q.


Propriétés des formes quadratiques

• Q : E → K, E étant un espace vectoriel sur K, est une forme quadratique si et seulement si

B étant la forme bilinéaire associée à Q.

La relation (1) est évidente, puisque dans Q(x) ne figurent que des termes du second degré. Si

De plus,

• Si

par suite, les n dérivées partielles de Q(x) par rapport aux n variables coordonnées xi sont données par

ce sont des formes linéaires sur E auxquelles est associée la matrice 2 M, M étant la matrice associée à la forme bilinéaire symétrique B(xy), qui est dite aussi associée à la forme quadratique Q(x). Ainsi, la matrice M d’une forme quadratique Q dans une base est la matrice des n formes linéaires Qi définies par

Il en résulte que

d’où

Exemple.

la matrice associée étant :

qui est symétrique, puisqu’elle est associée à une forme bilinéaire symétrique ; d’ailleurs, Q(x) = tXMX, X étant la matrice colonne


Orthogonalité

Deux vecteurs x et y de l’espace vectoriel E sont dits orthogonaux ou conjugués par rapport à la forme quadratique Q si B(xy) = 0, B étant la forme polaire associée à Q. Pour toute partie A de E, on appelle orthogonal de A, noté A, l’ensemble des éléments y de E orthogonaux à tous les éléments de A :
A = {y | y ∈ E et ∀ x ∈ A, B(xy) = 0}.
A est un sous-espace vectoriel de E, et l’on a
{0} = E, (A ⋃ B) = A ⋂ B, (A ⋂ B) ⊃ A + B
(A) ⊃ A, A = [vect(A)],
vect (A) désignant l’espace vectoriel engendré par A ; 0 est l’élément nul de E, et B une partie quelconque de E.