dynamique des fluides (suite)

Dans un barrage, par exemple, l’énergie potentielle de l’eau est transformée en énergie cinétique ; la vitesse du jet, en B, entraîne une turbine hydraulique reliée à un alternateur (fig. 2). Entre les points A et B, l’équation de Bernoulli s’écrit
h_A = h_B,
c’est-à-dire

En A et en B, la pression est la pression atmosphérique ; comme la surface libre est de grandes dimensions, V_A ≃ 0, ce qui donne pour la vitesse du jet en B

(formule de Torricelli).
En aérodynamique, la masse volumique du gaz étant faible, on peut négliger les forces de volume. Ainsi, l’équation de Bernoulli prend la forme suivante :

le long d’une ligne de courant.
La somme de la pression statique p et de la pression dite « dynamique » est appelée pression totale. Comme celle-ci reste constante pour un fluide parfait, si la vitesse augmente, la pression statique diminue.

On peut ainsi expliquer l’avantage du carénage inférieur de certaines voitures (fig. 3). Mis à part le fait que la résistance de l’air (traînée) diminue, la courbure du carénage offre une autre particularité : la section de passage de l’air diminuant, la vitesse augmente, entraînant la diminution de la pression. En B, la pression est inférieure à la pression atmosphérique qui règne en A, ce qui permet une aspiration au sol de la voiture et donc une meilleure tenue de route.

Ce phénomène, lié à la variation de la section d’un tube de courant et appelé phénomène de Venturi, a d’ailleurs reçu de multiples applications (carburateur d’automobile, pompe, système de mesure de débit...).

Équation de Barré de Saint-Venant

Pour un fluide compressible, c’est-à-dire en général pour un gaz, l’équation différentielle ne pourra être intégrée que si l’on connaît la fonction ρ = ρ (p). Lorsque l’écoulement de fluide se fait sans échange de chaleur avec l’extérieur, l’évolution est dite « adiabatique ». Comme, d’autre part, le fluide est supposé non visqueux, l’évolution est isentropique et vérifie l’équation de Laplace où γ et r sont définis à partir des chaleurs massiques à pression constante et à volume constant :

Ainsi, l’intégration de l’équation différentielle de départ nous donne l’équation dite « de Barré de Saint-Venant » :

le long d’une ligne de courant.

Si l’écoulement du gaz se fait à partir d’un état générateur (indice i) où la vitesse est nulle (réservoir de grandes dimensions par exemple), on peut calculer la vitesse du fluide en un point quelconque d’une canalisation à partir de la valeur de la pression en ce point

Équation de l’énergie

L’équation de l’énergie correspond à l’application du premier principe de thermodynamique à un domaine fluide que l’on suit dans son mouvement. Ce domaine [fig. 4] peut être en contact avec des parois solides fixes ou mobiles selon que le fluide s’écoule dans une canalisation ou à travers une machine. Ainsi, en exprimant le travail reçu de l’extérieur par le domaine fluide , nous faisons apparaître le travail développé par les parois mobiles d’une éventuelle machine, soit W_T pour l’unité de masse de fluide qui traverse la machine. Pour cette masse de fluide correspond d’autre part la quantité de chaleur Q_e reçue de l’extérieur. Ainsi, l’équation de l’énergie peut s’écrire

H étant l’enthalpie massique reliée à l’énergie interne massique E par et, pour un gaz supposé parfait, H = C_PT, E = C_VT.

Cette relation est fondamentale pour l’étude des turbomachines. Pour un compresseur centrifuge d’air, par exemple, la vitesse d’écoulement de l’air à travers la machine est telle que le fluide n’échange pas de chaleur avec les parois de la machine (Q_e = 0). Si l’air est comprimé de la pression p₁ à la pression p₂, la détermination de la vitesse et de la température aux brides d’entrée et de sortie de la machine nous donne le travail W_T échangé entre la roue et le fluide pour l’unité de masse de fluide traversant la machine. Pour un débit massique q d’air, la puissance sur l’arbre du compresseur, donc la puissance du moteur d’entraînement, sera égale à

où η_g est le rendement global du compresseur.

Écoulements subsonique et supersonique

Nous n’avons pas différencié les écoulements de fluide d’après leur vitesse. Cette différenciation est particulièrement importante pour les écoulements de gaz. Si, en un point de l’écoulement, la vitesse est V, nous pouvons définir la vitesse du son a en ce point. L’étude de la propagation des ondes élémentaires nous montre que pour un écoulement isentropique). Ainsi, il nous est possible d’étudier l’écoulement d’un gaz en fonction de la valeur du nombre sans dimension appelé nombre de Mach :
— si l’écoulement est dit subsonique ;
— si l’écoulement est supersonique.

Les écoulements subsonique et supersonique se comportent de manière différente, et il est intéressant d’étudier ce comportement pour le cas de l’écoulement d’un gaz non visqueux que nous supposerons parfait dans une conduite de section variable sans apport de chaleur de l’extérieur. L’équation du mouvement,

peut s’écrire à partir de l’expression de la vitesse du son

Ainsi, l’équation de continuité

exprime simplement la variation relative de la section de passage du fluide en fonction de la variation relative de la vitesse, relation connue sous le nom de relation d’Hugoniot

Elle s’accompagne du théorème suivant.

Dans une conduite donnée, siège d’un écoulement isentropique :
1^o la vitesse d’écoulement du gaz ne peut être égale à la célérité du son qu’en une section de la canalisation où l’aire présente un maximum ou un minimum (col d’une conduite) ;
2^o si l’écoulement est subsonique (V < a), dS et dV sont de signes contraires ; si l’aire de la section diminue, la vitesse augmente, ce que nous avions signalé à propos du phénomène de Venturi (la pression diminue aussi) ;
3^o si l’écoulement est supersonique (V > a), la vitesse et l’aire de la section varient dans le même sens : une augmentation de la section entraîne une augmentation de la vitesse.