Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
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dynamique des fluides (suite)

Nature des problèmes étudiés en dynamique des fluides

Malgré la diversité du champ d’application de la dynamique des fluides, il est possible de regrouper les problèmes en deux classes, selon la nature de nos préoccupations :
— détermination des caractéristiques du fluide (pression p, masse volumique ρ, température T, vitesse en un point particulier M de l’écoulement) ;
— détermination de la réaction d’un fluide sur une paroi solide en contact avec le fluide.

Le premier problème est général et se pose en particulier lorsque l’on veut connaître la vitesse de sortie de l’eau au droit de l’injecteur d’une turbine hydraulique ou bien encore les caractéristiques du fluide dans la veine d’une soufflerie supersonique. La résolution du problème, faisant intervenir quatre inconnues, nécessite la connaissance de quatre équations :
1o l’équation de conservation de la masse : un domaine fluide que l’on suit dans son mouvement se déforme, mais sa masse reste constante ;
2o l’équation de conservation de la quantité de mouvement traduisant le principe fondamental de la dynamique : si l’on explicite les différentes forces appliquées à un domaine fluide, ce principe nous donnera l’équation du mouvement du fluide, par exemple l’équation de Navier-Stokes pour un fluide visqueux incompressible. L’équation dynamique intégrée sur la trajectoire apparaît comme l’expression du théorème de l’énergie cinétique (équation de Bernoulli pour un fluide idéal, équation de Barré de Saint-Venant pour un fluide compressible et non visqueux) ;
3o l’équation de conservation de l’énergie traduisant le premier principe de thermodynamique ;
4o l’équation d’état du fluide reliant les caractéristiques physiques : pression, masse volumique, température. Pour un gaz parfait, par exemple, cette équation d’état s’écrit

Le second problème posé en dynamique des fluides concerne la détermination globale des efforts exercés par un fluide sur un obstacle. Force de traction d’une hélice, poussée d’un réacteur, couple appliqué par le fluide sur une roue de pompe ou de turbine, ces quelques exemples nous montrent l’importance pratique du problème résolu par le théorème d’Euler, forme particulière du principe fondamental de la dynamique.

En cinématique des fluides, nous avons donné l’expression de l’équation de conservation de la masse :

À cette équation ponctuelle, générale, nous préférons l’équation traduisant la conservation du débit massique q à travers une section droite S d’une canalisation ou, plus généralement, d’un tube de courant. Si l’écoulement est permanent et unidimensionnel (les caractéristiques du fluide sont les mêmes en tous les points d’une section droite)
q = ρ SV = constante.

Abordons à présent plus en détail, dans un premier temps, les équations dynamique et énergétique, et ensuite le théorème d’Euler.


Équations du mouvement

Le principe fondamental de la dynamique relatif à un système matériel peut s’écrire

où M est la masse du système et l’accélération de son centre de gravité ; les forces extérieures comprennent les forces de volume (le poids par exemple) et les forces de surface.

Lorsque ce système matériel est un volume de fluide que l’on suit dans son mouvement, les forces de surface se réduisent aux forces de pression et de viscosité. L’équation dynamique précédente était une équation globale, valable pour tout le volume de fluide considéré. À cette équation globale, il est facile de faire correspondre une équation ponctuelle. En chaque point M du fluide et à chaque instant, cette équation dynamique prend la forme générale suivante

est la force de volume par unité de masse de fluide (dans le cas où intervient seulement la pesanteur, étant la verticale ascendante) ; est la force de viscosité par unité de masse.

Cette équation dynamique prend des formes particulières suivant les hypothèses faites sur la nature du fluide.

En fluide non visqueux, on a l’équation d’Euler

En fluide incompressible, on obtient l’équation de Navier-Stokes

est le laplacien du vecteur vitesse, ayant pour composantes Δu, Δv, Δw avec, par exemple,

Rappelons aussi que a pour composantes

Lorsque le fluide est au repos, la relation de Newton est telle que les forces de frottement visqueux sont nulles. Nous retrouvons bien sûr, à partir de l’équation dynamique générale, l’équation fondamentale de la statique des fluides

L’équation du mouvement est une équation vectorielle qui, en projection sur un système d’axes quelconques, donne trois équations aux dérivées partielles. Mais ces équations ne sont pas linéaires, et leur résolution pose quelque problème. Lorsque le fluide est non visqueux et l’écoulement permanent, il est possible d’obtenir une intégrale première de ces équations, très utile pour la résolution des problèmes pratiques. L’application directe du théorème de l’énergie cinétique ou le calcul du travail élémentaire des forces entrant dans l’expression de l’équation d’Euler donnent, le long d’une ligne de courant,

Cette équation différentielle, si elle ne reste valable que pour un fluide non visqueux, s’étend aux fluides incompressibles et compressibles.


Équation de Bernoulli

Pour un fluide incompressible (ρ constant), non visqueux, en écoulement permanent, l’équation différentielle précédente s’intègre immédiatement et donne l’équation de Bernoulli

le long d’une ligne de courant.

Cette équation traduit la conservation de l’énergie du fluide, énergie cinétique et énergie potentielle de situation et de pression

En hydrodynamique, il est d’usage de faire intervenir la charge de l’écoulement (énergie par unité de poids de fluide) homogène à une longueur

le long d’une ligne de courant.