axiomatique (méthode) (suite)
Remarques.
1. Il y a trois termes non définis : point, droite, plan ; l’espace est alors l’ensemble des points.
2. Les axiomes 5 et 6 permettent de conclure que si deux plans ont un point commun A, ils en ont un autre B et, par suite, ils ont en commun la droite AB.
3. Le terme « entre », pour un point, s’applique à un point qui est déjà aligné avec deux autres points, les trois points étant distincts (en angl., betweeness).
4. L’axiome 15 postule l’existence de droites parallèles et contient le postulat d’Euclide.
5. Les relations définies dans les axiomes 16 et 21 sont, bien sûr, la relation d’égalité. Cette relation est :
symétrique (axiomes 17 et 22) ;
réflexive (axiomes 16 et 21) ;
transitive (axiomes 18 et 23).
6. L’axiome 25 est le deuxième cas d’égalité des triangles, qui est ainsi admis.
7. Cette liste d’axiomes peut paraître importante. Mais Hilbert a montré qu’on ne peut la réduire. Il existe cependant d’autres axiomatiques, certaines concernant la seule géométrie plane. Il y a d’ailleurs des axiomatiques qui ont un système d’axiomes surabondant. Cela n’est pas grave, à condition que l’introduction d’un nouvel axiome ne conduise pas à une contradiction. Il ne faut pas croire pour autant que, chaque fois qu’on pense qu’on ne peut pas démontrer un résultat, on peut le poser en axiome !
Parmi les deux exemples de constructions axiomatiques cités, l’un conduit à la géométrie euclidienne, l’autre à toute une classe d’ensembles identiques à un isomorphisme près. À l’aide d’un même système d’axiomes, il est possible de définir des ensembles ayant en commun toutes les propriétés qui découlent logiquement des axiomes posés, mais qui peuvent différer sur des points particuliers importants. C’est le cas des groupes ou des anneaux.
E. S.
➙ Anneau / Géométrie / Groupe / Logique / ℕ / Opération / Raisonnement / Relation.
R. Blanché, l’Axiomatique (P. U. F., 1955 ; 4e éd., 1967). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1964) ; les Mathématiques modernes (Éd. du Seuil, coll. « Microcosme », 1969).