résistance des matériaux (suite)

Cette courbe étant supposée tracée pour un matériau déterminé, on soumet ce dernier à des efforts croissants ; tant que le cercle de Mohr ne touche pas la courbe intrinsèque, aucune contrainte élastique ne peut satisfaire à la relation τ = f (ν), et il ne se produit en aucun point un glissement plastique quelconque ni, a fortiori, une décohésion par fissures. Mais, si le cercle de Mohr vient à être tangent en un point M à la courbe intrinsèque, le vecteur représente une contrainte de glissement associé à une facette SS′ ; la projection Oτ de sur la trace du plan de cette facette donne la contrainte tangentielle que provoque le glissement, et Oν est la valeur de la composante normale. La courbe intrinsèque de résistance élastique est l’enveloppe de tous les cercles de Mohr provoquant le glissement ; en effet, quand un vecteur de contrainte provoque le glissement, c’est que son extrémité se trouve sur le pourtour du cercle de Mohr, car il a atteint sa valeur maximale ; il est aussi sur la courbe intrinsèque par définition. Or, tous les cercles de Mohr provoquant la rupture composent une série continue ; ils touchent tous la courbe intrinsèque. Cette lumière est donc leur enveloppe. Lorsqu’un vecteur de contrainte se trouve sur le pourtour du cercle de Mohr, et non à son intérieur, le plan de la facette SS′ de trace Oτ contient la tension principale intermédiaire b ; le plan de trace Oτ est, par suite, normal au plan des tensions principales extrêmes a et c dans cette représentation de Mohr. Dans les laboratoires, on détermine la courbe intrinsèque comme l’enveloppe d’un certain nombre de cercles de Mohr, notamment les cercles de compression simple et de traction simple, qui passent par O, car, pour eux, b = c = 0. Le cercle de compression est à droite de l’origine et le cercle de traction est à gauche. La courbe intrinsèque est en outre tangente au cercle qui a l’origine pour centre et la valeur du cisaillement pour rayon. Cette courbe renseigne sur la forme des corps soumis à la traction ou à la compression simples. À la traction, on a une contrainte de glissement à laquelle est adjointe une contrainte normale qui favorise la séparation des éléments. En revanche, par compression, la contrainte normale favorise le maintien en place, ce que traduit la forme évasée vers la droite de la courbe intrinsèque. La forme est très évasée pour les corps fragiles, qui ne se prêtent pas à la déformation par glissement cohérent et se rompent par traction, sous des contraintes nettement plus faibles que dans le cas de la compression. La forme générale de la courbe est une parabole semi-cubique. Dans le cas des corps doués de plasticité, qui se déforment avant de subir une décohésion, la contrainte qui permet le glissement n’est pas très supérieure en compression à celle qui est observée en traction. Aussi, dans le cas des corps fragiles, l’angle β_c est faible à la compression, et l’angle β_t est voisin de 90° à la traction. Pour les corps non fragiles (fer, acier doux, cuivre), les angles β_c et β_t de la direction de l’effort avec le plan de glissement sont sensiblement égaux à 45°, d’où la forme des ruptures.

Problème de déformations dans la pratique

Les déformations sont liées aux contraintes. Phénomènes concrets et mesurables, elles sont la conséquence des contraintes qui ne sont, par elles-mêmes, ni visibles ni directement appréciables.

Déformations simples

Ce sont les compressions, les tractions, les cisaillements, les flexions et les torsions ainsi que le flambement. Pour qu’il y ait flexion dans une poutre, il faut une force normale à l’axe de la pièce appuyée sur des appuis fixes ou encastrée à une extrémité. Pour qu’il y ait torsion sur une poutre, une barre de torsion, un arbre de transmission, etc., il faut appliquer un couple de forces situées dans un plan normal à l’axe, les deux forces du couple étant à égale distance de cet axe. Quant au flambage (ou flambement), il se produit dans les pièces de grande longueur soumises à la compression ; si la pièce fléchit tout en se comprimant, la flexion va en s’accentuant jusqu’à la rupture par affaissement.

Déformations composées

Les sollicitations qui produisent les déformations simples peuvent se composer simultanément ; on peut avoir, à la fois :
— une compression et une flexion, ou une traction et une flexion ;
— un cisaillement et une torsion ;
— une traction (ou une compression) et une torsion ;
— une flexion et une torsion.

Flambage

La formule de compression simple donnant la résistance, par exemple, d’un cylindre vertical pesant n’est valable que si la hauteur n’est pas excessive par rapport à la section transversale, sinon il y a risque de flambage (appelé voilement pour certaines pièces). On appelle élancement le rapport de la hauteur l au rayon r de la section transversale. Pour une pièce donnée, encastrée à sa base, il y a une charge critique qui provoque le flambage.

• Flambage des poutres longues chargées en bout
Un poteau par exemple est chargé d’un poids symétriquement disposé et qui, par hypothèse, est insuffisant pour provoquer l’écrasement. Mais un accident peut survenir bien avant l’écrasement si la poutre est grêle par rapport à sa hauteur : la poutre peut « flamber », c’est-à-dire se déformer d’une manière ondulée. Une fois amorcé, ce processus peut s’amplifier démesurément et aboutir à la ruine du poteau. Il suffit pour cela d’une très légère excentricité de la charge sur le poteau de trop faible section.

• Poutre articulée à ses deux extrémités. On suppose que les extrémités peuvent pivoter sans quitter la même verticale. Les couples y sont seuls (moments fléchissants nuls). Les extrémités sont donc des points d’inflexion pour la poutre déformée. La formule d’Euler indique que la poutre flambera sûrement et se rompra pour une valeur F de la charge verticale telle que

L étant la longueur de la poutre, E le module de Young et I le moment d’inertie de la section. Si cette inégalité est satisfaite, la flèche croît très vite et on n’atteint l’équilibre qu’après une déformation hors de proportion avec la différence

La courbe de flambement est une sinusoïde.

Les règlements administratifs imposent un coefficient de sécurité de 10, c’est-à-dire que le maximum admis pour la charge verticale F est

• Poutre encastrée à la base et libre à l’autre extrémité. C’est le cas d’un pieu ou d’un poteau implanté dans le sol ou fixé sur un socle indéformable, l’autre extrémité étant libre. La condition produisant le flambement est

• Poutre encastrée à ses deux extrémités. La condition produisant le flambement est