résistance des matériaux (suite)

•  La poutre encastrée aux deux bouts flambe sous une charge quatre fois plus forte que la poutre articulée aux deux extrémités, et seize fois plus forte que la poutre articulée à un seul bout et encastrée à l’autre. Les règlements administratifs exigent que, dans ce cas, on ait

soit un coefficient de sécurité de 40.

Cisaillement

Si T est l’effort provoquant le cisaillement, appliqué à une section S, l’effort tranchant est Le cisaillement peut être simple (cas du boulon cisaillé entre deux tôles) ; il peut être complexe s’il est associé à une compression ; dans ce cas, l’effort tranchant est égal, dans une section d’une poutre fléchie, à la somme des projections, sur cette section, de toutes les forces extérieures appliquées à gauche de la section considérée (ou appliquées à droite, mais alors changées de signe), les forces extérieures étant les forces directement appliquées avec en plus les forces de liaison telles que les réactions des appuis, les charges permanentes et les surcharges. Les contraintes de cisaillement aux différents points d’une section transversale ne se répartissent pas d’une manière uniforme et ne sont pas égales à la contrainte moyenne du fait de la flexion, la contrainte transversale est nulle à la périphérie et elle est de l’ordre du double de la contrainte moyenne au centre. Pour définir les conditions de sécurité, on est conduit à substituer dans les calculs une section réduite plus faible que la section réelle, dont la valeur dépend notamment du moment d’inertie de la section par rapport à l’axe de flexion simple ; ces sections réduites sont pour les sections rectangulaires et pour les sections circulaires. Dans la pratique, la résistance au cisaillement du béton est prise égale au dixième de la résistance à la compression, chiffre sensiblement égal à la résistance à la traction. Dans une poutre métallique, la contrainte de glissement longitudinale (dû à la flexion) est en tous points égale à la contrainte de glissement transversale due à l’effort tranchant. Dans les matériaux fibreux (tel que le bois), cette égalité théorique n’est plus exacte : la contrainte de glissement longitudinale n’est qu’une fraction comprise entre et de la contrainte transversale.

Torsion

C’est une déformation qui se rattache au cisaillement : elle met en jeu le même module d’élasticité transversale G, appelé encore module de torsion, ou module de Coulomb.

Dans un tube creux assez mince, l’effet de torsion dans une section transversale est un cisaillement simple. Dans un tube plein, le cisaillement en chaque point est le même quand ces points sont à la même distance de l’axe ; la valeur du cisaillement est proportionnelle à la distance entre l’élément de surface et l’axe de torsion. Les fibres longitudinales deviennent des hélices à pas constant tant qu’il n’apparaît pas une striction de torsion (étranglement). La contrainte de torsion simple t en un point A d’une section, distant de r de l’axe, est t = G r θ, θ étant l’angle de torsion.

Si l’on considère par exemple un fil de section circulaire de rayon r, de longueur l et tendu par un poids, C étant le moment du couple qui tord le fil d’un angle θ, on a la relation :

Si le fil n’est pas circulaire, I étant le moment d’inertie de la section S du fil par rapport à l’axe qui lui est perpendiculaire et qui passe par son centre de gravité, la relation précédente devient :

Le coefficient k est de 0,025 3 pour une section elliptique ; 0,023 4 pour une section carrée ; 0,023 8 pour un rectangle de côté a = 2 b ; 0,024 9 si a = 4 b et 0,026 si a = 8 b. Dans la pratique, il y aurait danger, pour un arbre de transmission, à dépasser une torsion de 1/4 de degré par mètre de longueur.

Flexion plane

Lorsqu’une poutre horizontale est soumise à des forces verticales, on est dans le cas de la flexion simple. Chaque fibre horizontale devient, après déformation, une courbe située dans un plan vertical.

Dans une poutre sur appui, les contraintes de traction et de compression dans les fibres extrêmes (les plus fatiguées) ont pour valeur :
— en compression,
— en traction,
M étant le moment de flexion dans la section considérée, I le moment d’inertie en section nette (trous de rivets déduits) de la section S par rapport à l’axe de flexion simple passant par le centre de gravité, v et v′ les distances à cet axe de la fibre extrême, soit comprimée, soit tendue. Les quantités et sont appelées modules de résistance. Si R et R′ sont les taux de sécurité (valeur de la contrainte maximale admissible), on doit avoir :
— pour la fibre la plus comprimée,

— pour la fibre la plus tendue,

Dans le cas du profil symétrique en double T, on a si le matériau est un métal, R = R′ et la condition unique de sécurité est

• Moment de flexion. En flexion plane, le moment de flexion est égal à la somme des moments, par rapport au centre de gravité de cette section, de toutes les forces appliquées, y compris les forces de liaison et les réactions des appuis.

• Effort de traction maximal dans un prisme soumis à flexion sous moment constant. Si P est la force appliquée, a la largeur, b la hauteur et L la longueur du prisme, la contrainte de traction R a pour valeur :
— en section rectangulaire,

— en section carrée,

• Contrainte maximale de traction dans une poutre posée sur deux appuis simples et soumise en son milieu à une charge concentrée P. Si M est le moment fléchissant (ou moment de flexion), I le moment d’inertie, a la largeur et b la hauteur, on a :
— en section rectangulaire,

— en section carrée

Flexion composée

Dans les poutres, la flexion peut s’exercer simultanément avec une compression ou une traction ; c’est le cas d’une haute cheminée ou d’une tour élancée qui subit à la fois la compression de son poids et l’effet de flexion d’un vent violent.