ℕ (suite)

L’inégalité n  m peut se noter de la même façon   On définit aussi dans l’ensemble ℕ une relation d’ordre au sens strict qui est simplement antisymétrique et transitive :
∀n et m ∈ ℕ, n > m ⇔ ∃p ∈ ℕ, p ≠ 0, n = m + p.
Cette relation introduit une restriction, p ≠ 0, ce que l’on note aussi p ∈ ℕ*, avec ℕ* = ℕ – {0}.

La relation d’ordre est compatible avec l’addition et la multiplication de l’ensemble ℕ :

Il faut introduire une restriction en ce qui concerne la compatibilité avec la multiplication si l’on prend la relation au sens strict :
p ≠ 0 et n > m ⇒ np > mp,
mais, si l’on ne sait rien sur l’élément p, l’inégalité n > m peut entraîner l’égalité np = mp si p = 0.

La structure d’ordre sur l’ensemble ℕ est une structure d’ordre total, c’est-à-dire que deux entiers n et m de l’ensemble ℕ sont toujours comparables :

• On appelle majorant (respectivement majorant strict, minorant, minorant strict) d’un sous-ensemble de l’ensemble de ℕ, tout élément de cet ensemble supérieur ou égal (respectivement strictement supérieur, inférieur ou égal, strictement inférieur) à tous les éléments de ce sous-ensemble.

Le successeur d’un entier naturel est le plus petit de ses majorants stricts ; le prédécesseur, s’il existe (il n’existe pas dans le cas de zéro), est le plus grand des minorants stricts. Tout sous-ensemble non vide de l’ensemble ℕ admet un élément minimal unique (plus petit que tous les autres). Tout sous-ensemble non vide et majoré de ℕ admet un élément maximal (plus grand que tous les autres).

• Un ensemble fini est un ensemble en correspondance biunivoque avec un intervalle [1, n] de l’ensemble ℕ. Le nombre n est le cardinal de cet ensemble. La réunion, l’intersection, le produit cartésien de deux ensembles finis sont finis, et l’on a
card. A + card. B = card. (A ∪ B) + card. (A ∩ B).
L’ensemble ℕ a la puissance du dénombrable.

Division des entiers naturels

Si a ∈ ℕ et b ∈ ℕ*, a est multiple de b s’il existe un élément q ∈ ℕ tel que a = bq ; c’est dire que a appartient à la suite :
N_b = {0, b, 2b, 4b, ..., nb, ...} n ∈ ℕ.
On dit aussi que b divise a ou est un diviseur de a ; on note b/a « b divise a » ; le nombre q s’appelle le quotient de a par b, et l’on note équivalant à a = bq.

La relation de divisibilité dans l’ensemble ℕ est :
— réflexive puisque a = a × 1 ;
— antisymétrique puisque a = bq et b = aq′, b ≠ 0 et a ≠ 0 entraînent a = aqq′, d’où qq′ = 1 et q = q′ = 1, d’où a = b ;
— transitive puisque a = bq, b = cq′ entraînant a = c(qq′), d’où c/a.

C’est donc une relation d’ordre au sens large. Mais cet ordre est partiel. En effet, étant donné deux entiers naturels quelconques a et b, a ne divise pas b et b ne divise pas a. Par exemple, le nombre a se place entre deux des nombres de la suite N_b, et l’on peut écrire
a = bq + r avec 0 < r < b ;
q est non nul si a > b ; si a < b, q = 0 et r = a. On peut résumer en une seule identité :

le cas où b divise a et celui où b ne divise pas a ; c’est l’identité de la division : q est le quotient, et r est le reste ; a est le dividende, et b le diviseur.

Propriétés de la division

1. Lorsqu’on multiplie (ou divise, si c’est possible) le dividende et le diviseur par un même nombre, le quotient ne varie pas et le reste est multiplié (ou divisé) par ce nombre.

2. Pour former le quotient de a par le produit bc, on peut diviser a par b, puis le quotient obtenu par c (ou inversement). Cette propriété se généralise à la division d’un nombre a par un produit de n facteurs, l’ordre des divisions successives étant indifférent.

3. Lorsque le dividende croît, le diviseur restant invariant, le quotient reste invariant ou augmente.

4. Lorsque le diviseur croît, le dividende restant invariant, le quotient reste invariant ou diminue.

Divisibilité dans ℕ

Un nombre premier est un nombre différent de 1 n’admettant comme diviseur que 1 et lui-même.

Un nombre composé est un nombre de l’ensemble ℕ différent de 1 et non premier ; tout nombre composé admet au moins un diviseur premier.

• Un nombre premier est premier avec tout nombre qu’il ne divise pas.

• Pour qu’un nombre premier divise un produit de facteurs en nombre quelconque, il faut et il suffit qu’il divise l’un de ces facteurs.

• Pour qu’un nombre premier divise un produit de facteurs premiers, il faut et il suffit qu’il soit égal à l’un d’eux.

• Tout nombre composé se décompose en un produit de facteurs premiers distincts ou confondus, et la décomposition est unique.

• Étant donné deux entiers naturels a et b, les diviseurs communs à a et b coïncident avec les diviseurs d’un nombre d qui est le plus grand diviseur commun à a et à b ; on note d = p. g. d. c. (a, b) ou d = a ∩ b ou d = a ∧ b ; les deux nombres a et b étant décomposés en produits de facteurs premiers, leur p. g. d. c. est le produit des facteurs communs affectés des plus faibles exposants des deux décompositions. Les nombres et ont comme p. g. d. c. 1 ; ils sont premiers entre eux : Cette dernière égalité est caractéristique du p. g. d. c. de deux nombres : pour qu’un diviseur commun δ à a et à b soit leur p. g. d. c, il faut et il suffit que

Si on multiplie (ou si l’on divise, quand cela est possible), deux nombres a et b par un même troisième k, le p. g. d. c. de a et de b est multiplié (ou divisé) par ce nombre. Mais si on multiplie (ou si l’on divise) l’un des deux nombres a ou b par un nombre premier avec l’autre, le p. g. d. c. de a′ et de b ou de a et de b′ (a′ = ka avec k ∩ b = 1 ou b′ = k ∩ b avec a ∩ k = 1) est égal à a ∩ b.

Théorème fondamental de la divisibilité

Si un nombre divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre. On en déduit que, si un nombre est divisible par des nombres premiers entre eux deux à deux, il est divisible par le produit de ces nombres.

• Étant donné plusieurs entiers naturels en nombre au moins égal à trois, il existe un nombre d qui est le plus grand diviseur commun à ces entiers naturels ; les diviseurs communs à ces entiers sont tous les diviseurs de d. Les propriétés énoncées pour le p. g. d. c. de deux entiers naturels s’étendent au cas d’un nombre fini quelconque d’entiers naturels.