logique (suite)

L’attitude des mathématiciens et des logiciens à l’égard du problème de la non-contradiction s’est naturellement considérablement modifiée depuis Gödel. On s’intéresse beaucoup moins aujourd’hui à la question de la consistance absolue qu’aux questions de consistance relative : au lieu d’établir qu’un système formel donné S est non contradictoire, absolument parlant, on s’efforcera de montrer plutôt que si un système S est non contradictoire, alors une certaine extension S′ de S l’est également. Une démonstration de consistance relative pour un axiome déterminé de ZF est une démonstration du fait que, si le système d’axiomes de ZF sans l’axiome en question est consistant, alors ZF lui-même est consistant. J. von Neumann a montré, par exemple, que l’axiome de régularité était relativement consistant par rapport aux autres axiomes de ZF. Mais le résultat le plus caractéristique et le plus décisif qui ait été obtenu dans ce domaine est certainement celui de Gödel (1940). Un certain nombre de théorèmes importants sur la consistance relative ont pu être démontrés à propos de différentes formulations de la théorie des ensembles. On a établi, par exemple, que les axiomatisations du type von Neumann-Bernays, qui garantissent l’existence de classes aussi bien que d’ensembles au sens strict, étaient relativement consistantes par rapport à la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (Ilse Novak [1950], Rosser et Wang [1950], J. R. Shoenfield [1954]).

La méthode des modèles a joué un rôle décisif dans l’obtention de démonstrations de consistance relative pour la théorie des ensembles. La théorie des modèles (en particulier des modèles « non standards ») doit indiscutablement être considérée comme une des branches les plus importantes et les plus fécondes de la logique contemporaine. (Voir, par exemple, The Theory of Models [Amsterdam, 1965], sous la direction de J. W. Addison, L. Henkin et A. Tarski.) Il n’est pas possible de citer ici tous les noms importants (Henkin, Tarski, Mostowski, Kemeny, J. B. Rosser et Hao Wang [né en 1921], Shepherdson, Specker, A. Robinson, etc.).

Une autre branche particulièrement importante est représentée par la théorie des fonctions récursives et par l’arithmétique et l’analyse récursives (Kleene, Rózsa Péter, Skolem, Julia Robinson, R. L. Goodstein, H. Hermes, P. Axt, D. Lacombe, etc.).

La clarification des notions de constructivité et de constructivisme occupe une place centrale dans les recherches modernes sur les fondements des mathématiques. L’attitude constructiviste s’exprime de façon particulièrement nette dans la logique « opérative » de P. Lorenzen, qui propose une version libérale de l’intuitionnisme, compatible avec les exigences de l’analyse classique. G. Kreisel s’est intéressé à la fois à l’intuitionnisme et à la notion de constructivité en général (1951-52, 1958).

La logique combinatoire, créée par M. Schönfinkel (1924) et développée par H. B. Curry (cf. Curry et R. Feys, Combinatory Logic, 1958), a trouvé ces dernières années un regain d’importance en raison de certains développements récents de la théorie linguistique. Du point de vue théorique, les logiques combinatoires sont intéressantes surtout à cause du jour nouveau qu’elles ont jeté sur le rôle des variables et la notion de substitution dans le symbolisme de la logique mathématique.

Il ne peut naturellement être question ici de considérer de près, du point de vue historique, les développements récents de la logique modale (cf., par exemple, G. E. Hughes et M. J. Cresswell, An Introduction to Modal Logic, 1968), plurivalente (cf., en particulier, J. B. Rosser et A. R. Turquette, Many-Valued Logics, 1952), inductive (voir, par exemple, L. J. Cohen, The Implications of Induction, 1970) et déontique (G. H. von Wright), de la théorie des automates et des langages formels, de la mécanisation des procédures logico-mathématiques (cf., par exemple, Hao Wang) et, d’une manière générale, des branches qui font interférer la logique mathématique et la théorie de l’information.

J. B.

Quelques biographies complémentaires

Abélard, Aristote, Averroès.

V. les articles.

Boèce (Anicius Manlius Torquatus Severinus Boetius)

[Rome v. 480 - † 524], homme d’État, philosophe et poète latin. Fils d’un consul, il eut pour maîtres Festus et Symmaque, dont il épousa la fille, et compléta son éducation à Athènes. Ce fut lui que le sénat chargea de haranguer Théodoric faisant son entrée dans Rome. Le roi goth l’attacha à sa personne. Consul et prince du sénat en 510, il vit ses fils élevés à la même dignité en 522. Théodoric lui confia des missions importantes et délicates. Mais, ayant pris la défense du sénateur Albinus, accusé d’entretenir des intelligences avec l’empereur d’Orient, Boèce fut inculpé de haute trahison et de magie, et mourut dans les tortures. Les services qu’il avait rendus à la cause catholique le firent admettre de bonne heure au nombre des martyrs. Le plus célèbre de ses écrits est la Consolation philosophique, composée dans sa prison, en prose mêlée de vers, et divisée en cinq livres. Les quatre premiers reproduisent avec éloquence des lieux communs antiques sur la Fortune, la Gloire, le Souverain bien, etc. Le cinquième étudie le problème de la prescience divine et de la liberté humaine. L’ouvrage est inachevé. L’inspiration en est celle de la plus noble sagesse antique.

Bernhard Bolzano

V. analyse.

George Boole.

V. l’article.

Rudolf Carnap

(Wuppertal 1891 - Santa Monica, 1970), philosophe et logicien allemand. Il enseigna la philosophie à Prague (1931) et Chicago (1936). Il est surtout connu par ses travaux de logisticien et par sa place dans l’école néo-positiviste allemande dite « cercle de Vienne* », dont il semble pouvoir être, considéré comme le, chef. Il est l’auteur d’analyses sur la valeur et les fonctions du langage (théorie des énoncés protocolaires). Ses principaux ouvrages sont : Der Raum (1922), Der logische Aufbau der Welt (1928), Abriss der Logistik (1929), Logische Syntax der Sprache (1934), le Problème logique de la science (1935), Introduction to Semantics (1942), Formalization of Logic (1943), Meaning and Necessity (1948), Logical Foundations of Probability (1951), The Continuum of inductive Methods (1952), Einführung in die symbolische Logik (1954), traduit en anglais sous le titre Introduction to Symbolic Logic and its Applications (1958), Induktive Logik und Wahrscheinlichkeit (en collab. avec Stegmüller [1959]).

Chrysippe.

V. stoïciens (les).

Augustus De Morgan.

V. algèbre.

Duns Scot.

V. l’article.

Al-Fārābī.

V. Arabes [philosophie arabe].

Gottlob Frege