Groupe des substitutions d’un ensemble à n éléments

Une permutation des n éléments d’un ensemble est une disposition quelconque ordonnée de ces n éléments. Une substitution est la bijection qui fait passer d’une permutation à une autre.

Exemple. E = {1, 2, 3, 4} ; une substitution est, par exemple,

L’ensemble des substitutions d’un ensemble de cardinal n forme un groupe pour la composition des applications. C’est le groupe symétrique S_n, dont le cardinal est n!

On appelle transposition toute substitution qui échange deux éléments et laisse les autres invariants. Toute substitution se décompose en produit de transpositions ; si le nombre de ces transpositions est pair, la substitution est dite paire ; sinon, la substitution est impaire.

Les substitutions paires d’un ensemble E de cardinal n forment un groupe, le groupe alterné A_n, dont le cardinal est car dans S_n il y a autant de substitutions paires que de substitutions impaires ; A_n est un sous-groupe distingué de S_n.

E. S.

Quelques grands noms de la théorie des groupes

Elie Cartan,

mathématicien français (Dolomieu, Isère, 1869 - Paris 1951). Professeur de géométrie supérieure à la Sorbonne, il consacre la plupart de ses travaux à la théorie des groupes, prolongeant et approfondissant dans ce domaine l’œuvre de Sophus Lie. Mais son apport personnel a été considérable et a parfois devancé certaines conceptions d’Einstein. (Acad. des sc., 1931.)

Jules Drach,

mathématicien français (Sainte-Marie-aux-Mines 1871 - Cavalaire-sur-Mer 1949). Dès 1893, il montre que les recherches de Sophus Lie sur l’utilisation de la notion de groupe dans l’étude des équations différentielles peuvent conduire à une vraie généralisation des méthodes de Galois*. Cette généralisation est apportée par sa théorie de l’Intégration logique (1898), généralisation qu’il emploie à des questions variées de géométrie et de mécanique. (Acad. des sc., 1929.)

Felix Klein,

mathématicien allemand (Düsseldorf 1849 - Göttingen 1925). Inscrit à l’université de Bonn en 1865, il devient assistant de Julius Plücker (1801-1868), qui lui donne le goût de la géométrie analytique et dont il publie la seconde partie de la Nouvelle Géométrie de l’espace. Il poursuit ses études à Berlin, à Paris, puis à Göttingen. Il subit à Paris, avec son ami Sophus Lie, l’influence de Camille Jordan (1838-1922) et à Göttingen celle de Rudolf Clebsch (1833-1872). Nommé en 1872, à vingt-trois ans, professeur à Erlangen, il publie dès son arrivée le Programme d’Erlangen, où il montre le rôle primordial de la notion de groupe en géométrie. Ses leçons sur l’icosaèdre (1884) illustrent l’importance de la même notion en algèbre. Ses recherches d’analyse s’appuient sur le même concept. Elles portent en particulier sur les fonctions automorphes, fonctions de la variable complexe admettant un groupe de transformations homographiques. Dans ce domaine, Klein se rencontre avec Lazarus Fuchs (1833-1902) et Henri Poincaré*, qui appellera en son honneur certaines fonctions automorphes fonctions kleinéennes. Mais, à trente-trois ans, sa santé l’oblige à abandonner la recherche. Il se consacre alors à son enseignement, qui eut une grande influence. On lui doit une belle histoire des mathématiques au xix^e s., Gesammelte mathematische Abhandlungen.

Sophus Lie,

mathématicien norvégien (Nordfjordejdet, Norvège, 1842 - Christiania 1899). Professeur aux universités de Christiania (1872-1886) et de Leipzig (1886-1898), ami de Felix Klein, de Camille Jordan et de Gaston Darboux, il a fait de la notion de groupe un outil puissant de la géométrie et de l’analyse.

Ernest Vessiot,

mathématicien français (Marseille 1865 - La Bauche, Savoie, 1952). Ses travaux, comparables à ceux de Drach, qu’ils précisent, sont surtout relatifs à l’application de la notion de groupe à l’intégration des équations différentielles et aux équations aux dérivées partielles. (Acad. des sc., 1948).

J. I.

➙ Anneau / ℂ / Combinatoire (analyse) / Matrice / ℚ / ℝ / Substitution / ℤ.

 G. Choquet, Algèbre des ensembles, algèbre (C. D. U., 1956). / P. Dubreil et M. L. Dubreil-Jacotin, Leçons d’algèbre moderne (Dunod, 1961 ; 2^e éd., 1964). / P. Dubreil, Algèbre, t. I : Équivalences, opérations, groupes, anneaux et corps (Gauthier-Villars, 1963).