ellipsoïde de référence (suite)
Rôle géométrique de l’ellipsoïde de référence
L’ellipsoïde est centré au centre de gravité des masses terrestres G. Son petit axe (de longueur b) est porté par GZ, axe de rotation terrestre. Les axes GX et GY sont équatoriaux (de longueur a), GX étant dans le méridien de Greenwich. Un point P de l’espace peut être défini :
— soit par ses coordonnées trirectangulaires X, Y, Z ;
— soit par ses coordonnées géographiques ou géocentriques, définies par les formules ci-après :
X = (N + H) cos φ cos λ = r cos ψ cos λ,
Y = (N + H) cos φ sin λ = r cos ψ sin λ,
Z = [N (1 – e2) + H] sin φ = r sin ψ,
H étant l’altitude de P au-dessus de l’ellipsoïde (Pp), λ la longitude, φ la latitude, ψ la latitude géocentrique, r la distance GP, e l’excentricité et N la longueur de la grande normale en p, soit
Le modèle permet ainsi de donner une loi de correspondance entre coordonnées cartésiennes et coordonnées géographiques.
Rôle dynamique de l’ellipsoïde de référence
Le champ de pesanteur est un vecteur dont les composantes en tout point sont obtenues comme les dérivées partielles d’une fonction du point P, appelée potentiel de la pesanteur.
L’ellipsoïde (E) a pour rôle aussi de donner du champ réel 
une approximation 
telle que, par convention, l’ellipsoïde (E) soit une équipotentielle de ce champ. En pratique, l’expression du potentiel de la pesanteur W peut s’écrire
F étant la constante d’attraction universelle, M la masse de la Terre, J2 un coefficient constant, ω la vitesse angulaire de la Terre et
Le premier terme de cette expression correspond à l’attraction, et le second au potentiel centrifuge dû à la rotation terrestre.
Sous réserve d’ajouter à l’expression ci-dessus des termes faibles d’ordre supérieur, on réalise une expression U du potentiel W qui est constante sur un ellipsoïde de grand axe a.
Deux formules approchées, dues à Alexis Clairaut (1713-1765), permettent de relier simplement l’aplatissement 
de l’ellipsoïde au coefficient J2 et aux mesures de g à la surface du globe :
gE étant la valeur de g à l’équateur et gp la valeur de g au pôle.
Des formules précises permettent de donner l’expression de g sur (E) et dans tout l’espace.
Principaux ellipsoïdes de référence
Ellipsoïde de Hayford, dit « international » (1924)
La valeur de a est tirée de l’analyse des triangulations effectuées notamment en Amérique du Nord, celle de f ′ provient de mesures gravimétriques et celle de f est obtenue à partir de la première formule de Clairaut.
La valeur de la pesanteur standard (en cm/s/s ou gal) au niveau 0 est donnée par la formule
g = 978,049 (1 + 0,005 288 4 sin2 φ – 0,000 005 9 sin2 2 φ).
Système géodésique de référence 1967
L’analyse des trajectoires des satellites a donné très rapidement une excellente valeur de J2 et, par suite, une valeur de l’aplatissement f (deuxième formule de Clairaut). La constante (FM) de l’attraction universelle (pour la Terre) a été déterminée par des mesures directes de distances sur des satellites artificiels ou naturels (Lune). Le grand axe a résulte d’estimations faites à partir de grandes mesures géodésiques continentales, analysées notamment par Mme Irene Fischer de l’Army Map Service aux États-Unis.
L’Union astronomique internationale et, à sa suite, l’Union de géodésie et géophysique internationale ont adopté les constantes suivantes :
FM = 398 603 . 109 m3/s–2 ;
J2 = 10 827 . 10–7 ;
a = 6 378 160 m ;
ω = 7,292 115 . 10–5 s–1.
Par suite, les grandeurs dérivées ont pour valeur :
f = 1/298,247 167 4 ;
b = 6 356 774,516 m ;
g = 978,031 8 (1 + 0,005 302 4 sin2 φ – 0,000 005 9 sin2 2 φ),
g étant la gravité standard exprimée en gals.
Le système géodésique de référence 1967 doit remplacer progressivement l’ellipsoïde de Hayford dans toutes applications, notamment en gravimétrie. On peut considérer que le géoïde diffère de cet ellipsoïde tout au plus d’une centaine de mètres.
H. M. D.
➙ Géodésie / Géoïde / Gravimétrie / Triangulation.