G. Casanova, Mathématiques spéciales, t. 1 : Algèbre linéaire, espaces-vecteurs (Belin, 1957 ; nouv. éd., 1963). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966). / E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, t. I : Algèbre (Masson, 1974).

Quelques grands noms dans l’histoire des déterminants

mathématicien suédois (Stockholm 1866 - Mörby 1927). Professeur de physique mathématique á l’université de Stockholm, il a laissé son nom à un type d’équations « intégrales » qu’il a étudiées dans un mémoire paru en 1903. Une abondante littérature où figurent les auteurs les plus prestigieux, comme David Hilbert (1862-1943), a suivi la parution de ce mémoire. Dans la théorie du potentiel, un problème célèbre, dit « de Dirichlet », fut abordé en 1877 par Carl Neumann (1832-1925) au moyen d’une « équation intégrale ». L’équation de Fredholm est de ce type : K(x,s) et f(x) étant des fonctions données ainsi que le paramètre λ et les nombres a et b, on cherche une fonction φ(x) telle que

Remplaçant l’intégrale définie par une somme discrète, Fredholm est conduit à la résolution d’un système d’équations linéaires. Cette résolution mène à l’étude de déterminants en λ. Un passage à la limite donne la fonction φ (x,λ) cherchée, fonction méromorphe en λ.

mathématicien irlandais (Dublin 1819 - id. 1904). Professeur de mathématiques au Trinity College de Dublin de 1848 à 1866, il y enseigne ensuite la théologie jusqu’en 1888. Ses ouvrages de géométrie et d’algèbre, modernes (notamment Conics Sections [1848], Higher Plane Curves [1852], Modern Higher Algebra [1859], Analytic Geometry of Three Dimensions [1862]), élégants et clairs, ont eu une grande influence sur l’enseignement et ont été traduits en plusieurs langues. Il y concilie la géométrie analytique de René Descartes (1596-1650) avec la géométrie projective de Gérard Desargues (1593-1662) et de Blaise Pascal (1623-1662). Son Traité d’algèbre supérieure, où la théorie de l’élimination est traitée à fond, contient une exposition complète de la théorie des déterminants.

mathématicien français (Saint-Affrique 1798 - id. 1861). Longtemps professeur d’analyse à la faculté des sciences de Strasbourg, il s’est occupé de l’élimination d’une inconnue entre deux équations algébriques. Il a apporté une importante contribution au calcul des variations et obtenu en 1842 le grand prix des mathématiques de l’Académie des sciences à la suite d’un mémoire sur ce sujet. Son nom reste attaché à un procédé de calcul des déterminants d’ordre trois (règle de Sarrus).

mathématicien britannique (Londres 1814 - id. 1897). D’origine juive, James Joseph ne prend que tardivement le patronyme de Sylvester. Admis en 1833 à Cambridge au Saint John’s College, il n’est pas autorisé à prendre ses grades universitaires, pour des questions de religion. En 1838, il obtient une chaire de philosophie naturelle à Londres et devient membre de la Royal Society. En 1841, il n’occupe que trois mois une chaire de l’université de Virginie en raison de son attitude antiesclavagiste et rentre en Angleterre, où il se lance dans les affaires, puis s’inscrit au barreau et se lie avec Arthur Cayley (1821-1895). Il enseigne les mathématiques à l’école militaire de Woolwich de 1855 à 1870, puis à l’université de Baltimore, où il fonde l’American Journal of Mathematics. Il succède à H. J. S. Smith (1826-1883) dans la chaire savilienne de l’université d’Oxford, où il exerce jusqu’en 1892. L’œuvre algébrique de Sylvester, comme celle de Cayley, est considérable. On lui doit les notions et les mots d’invariant, de covariant, de contravariant, etc. Il utilise avec dextérité le calcul des déterminants, et son nom reste attaché à la méthode « dialytique » d’élimination.

J. I.