déterminant (suite)

• Le déterminant D ne change pas si on ajoute à un vecteur, une combinaison linéaire des n – 1 autres vecteurs. Par exemple, si on remplace par

on ajoute, au déterminant D, n – 1 déterminants nuls, car ils ont tous deux vecteurs égaux.

• Si les n vecteurs sont linéairement dépendants, D est nul. Par exemple, si

D est une somme de n – 1 déterminants nuls.

• Si est l’expression de dans la base

ce dernier résultat s’obtient par application itérée des 2^e et 3^e propriétés ; le dernier signe somme, Σ, porte sur nⁿ termes.

Parmi ces nⁿ termes, seuls sont différents de zéro ceux pour lesquels α₁, α₂, ..., α_n sont deux à deux distincts. En effet, le déterminant

n’est différent de zéro que si tous les vecteurs qui y figurent sont distincts. Il y a donc n! déterminants non nuls, chacun d’eux correspondant à une permutation des indices 1, 2, ..., n des vecteurs de base. De plus, on passe du déterminant

au déterminant en opérant un certain nombre d’échanges sur les vecteurs de base. Le déterminant est donc égal, au signe près, au déterminant puisque l’échange de deux vecteurs ne modifie que le signe. Ce signe est « plus » ou « moins » suivant qu’on opère un nombre pair ou impair de transpositions ; il est donc donné par le signe de I(α₁, α₂, ..., α_n) désignant le nombre d’inversions que représente la permutation (α₁, α₂, ..., α_n) par rapport à la permutation (1, 2, ..., n). C’est ainsi que la permutation 1, 3, 4, 2 présente deux inversions, car 3 et 4 sont avant 2. On a donc

Le déterminant D, s’il existe, a donc nécessairement pour valeur

Cette somme est un scalaire de K, dont on peut vérifier qu’il satisfait aux quatre conditions de la définition. Ce qui montre l’existence et l’unicité du déterminant D.

Notation

Le déterminant est noté

où, dans chaque colonne, on range les coordonnées d’un vecteur pour i = 1, 2, ..., n ; les sont les éléments de D ; D est d’ordre n.

Développement d’un déterminant suivant les éléments d’une colonne ou d’une ligne

Le déterminant est la somme de n! produits obtenus en prenant un élément dans chaque ligne et dans chaque colonne. On peut grouper tous les termes qui contiennent un élément déterminé, en facteur ; soit Puis, pour la valeur i fixée, on peut faire varier le nombre j de 1 à n, c’est-à-dire, pour chaque élément de la i-ème colonne, regrouper tous les termes du déterminant D qui contiennent cet élément en facteur. On obtient ainsi le développement du déterminant D suivant les éléments de la i-ème colonne :

On démontre assez simplement que

étant le déterminant obtenu en supprimant dans D la i-ème colonne et la j-ième ligne ; est d’ordre n – 1 ; c’est un mineur d’ordre n – 1 ; est le cofacteur de

On peut aussi développer D suivant les éléments d’une ligne pour j fixé. D’ailleurs, un déterminant ne change pas quand on effectue sur ses éléments une symétrie par rapport à la diagonale principale (diagonale contenant les termes i = 1, 2, ..., n), ce qui revient à échanger les lignes et les colonnes.

Exemples de développements de déterminants

Les calculs se font en utilisant les propriétés des déterminants qui découlent de la définition et de ses conséquences ; la plus importante est la 3^e propriété, qui permet, dans certains cas, de faire apparaître des zéros dans le déterminant, ce qui annule des termes dans son développement.

Il est inutile pour ce déterminant d’ordre trois d’essayer de faire apparaître d’autres zéros ; on peut le développer, comme ci-dessus, suivant les éléments de la première colonne.

d’où D₄(x) = (4 + x)x³.

On passe du premier déterminant au deuxième en ajoutant, aux éléments de la première colonne, les éléments correspondants des autres colonnes du deuxième au troisième en mettant 4 + x en facteur et du troisième au quatrième en retranchant aux éléments des trois dernières lignes les éléments correspondants de la première ligne, ce qui fait apparaître des zéros qui permettent le développement du déterminant suivant les éléments de la première colonne.
3^o Déterminant de Vandermonde

D_n est un polynôme en a, b, ..., l, qui s’annule pour a = b, donc divisible par a – b ; puis pour a = c, donc divisible par (a – b) (a – c) si b ≠ c ; etc. ; en supposant que a, b, c, ..., l sont deux à deux distincts (seul cas intéressant, car si deux des nombres a, b, c, ..., l sont égaux, on a D_n = 0 comme ayant deux lignes identiques), on voit que

On montre que

Usage des déterminants

Les déterminants servent à la résolution des systèmes d’équations linéaires.

• Système de Cramer. C’est le système le plus général de n équations à n inconnues dont le déterminant des vecteurs colonnes est différent de zéro ; soit

Sous forme vectorielle, ce système s’écrit

x₁, x₂, ..., x_n étant les n inconnues.
Il y a une solution unique donnée par

dans le numérateur de x_i, est mis à la place de

• Système quelconque. C’est un système de n équations à p inconnues, soit, sous forme vectorielle :

On appelle rang du système l’ordre d’un déterminant non nul d’ordre le plus élevé possible extrait de la matrice des coefficients du système. Ce déterminant n’est pas nécessairement unique, mais l’ordre est unique. On appelle principal un déterminant dont l’ordre est égal au rang du système.
Soit

un déterminant principal (on ne restreint pas la généralité en indiquant que les coefficients de Δ sont ceux des r premières inconnues, dans les r premières équations) ; ces r inconnues sont dites « principales », ainsi que les équations correspondantes. On appelle caractéristique un déterminant tel que

obtenu en bordant inférieurement Δ par les coefficients des inconnues principales de la (r + j)i-ème équation, et à droite par les composantes de sur les vecteurs de base

Théorème de Rouché et Fontené

Pour qu’un système d’équations linéaires admette des solutions, il faut et il suffit que tous ses déterminants caractéristiques soient nuls. On obtient alors toutes les solutions du système en résolvant, par rapport aux inconnues principales, le système de Cramer formé par les équations principales dans lesquelles on donne aux inconnues non principales des valeurs arbitraires.

Exemple de résolution de système.

a, b, c et m étant des paramètres.

• Si m ≠ 0 et ≠ 2, D ≠ 0 ; le système est de Cramer ; il y a une solution unique :

• Si m = 0, le système (S) se réduit à un système équivalant à

qui est impossible si a + b ≠ c ; si a + b = c, on a, par exemple, x indéterminé ; y = c – 3x ; z = b – x.

• Si m = 2, le système (S) se réduit à

On peut prendre comme inconnues principales x et y et comme équations principales les deux premières ; on trouve le système est alors impossible ou indéterminé (z arbitraire), suivant que le déterminant caractéristique

est différent de zéro ou nul.

E. S.

➙ Matrice / Vectoriel (espace).