Ellipse rapportée à ses axes

Le système d’axes xOy est supposé orthonormé.

L’ellipse E a pour équation les points A, A′, B et B′ sont les sommets de l’ellipse ; AA′ = 2a est le grand axe, BB′ = 2b est le petit axe. Les cercles de diamètre AA′ et BB′ sont respectivement le cercle principal et le cercle secondaire. On obtient un point M de l’ellipse en traçant un rayon OM₁M₂ et en abaissant de M₁ et M₂ les perpendiculaires M₁H à Ox et M₂K à Oy : le point M est l’intersection de M₁H et M₂K. Il résulte de cette construction que M, qui a même abscisse que M₁ et même ordonnée que M₂, a pour coordonnées x = a cos φ et y = b sin φ, étant l’anomalie excentrique On passe du cercle principal à l’ellipse par l’affinité orthogonale d’axe Ox et de rapport de même, on passe du cercle secondaire à l’ellipse par l’affinité orthogonale d’axe Oy et de rapport Ces deux transformations permettent des constructions relatives à des problèmes d’intersection d’ellipses et de droites et à des problèmes de tangentes. Les tangentes en M₁ au cercle principal et en M à l’ellipse passent par le même point T du grand axe ; on a ainsi une construction de l’ellipse par points et tangentes. L’équation de la tangente en M est d’ailleurs b cos φ . x + a sin φ . y – ab = 0. L’ensemble des points d’où l’on peut mener à une ellipse deux tangentes perpendiculaires est le cercle orthoptique, ou cercle de Monge ; il a pour centre O et pour rayon Les points F et F′ sont les foyers de l’ellipse ; FF′ = 2c est la distance focale, et la relation a² = b² + c² montre qu’on peut obtenir F et F′ comme intersection de AA′ et du cercle de centre B et de rayon a. L’ellipse E est l’ensemble des points M tels que MF + MF′ = 2a, et cette définition permet une construction de l’ellipse par points.

Parabole rapportée à son axe et à sa tangente au sommet

La parabole P a pour équation y² = 2px, en axes orthonormés, p = HF étant le paramètre ; elle est l’ensemble des points équidistants du foyer F et de la directrice D, d’équation Le sommet O de la parabole est équidistant des points H et F. La tangente en M à la parabole est la bissectrice de l’angle son équation est M ayant pour coordonnées et y₀.

Coniques définies par foyer et directrice

Une droite D et un point F non situé sur D étant donnés, l’ensemble des points M du plan défini par D et F tels que MF = eMH, e étant une constante positive et H la projection de M sur D, est la conique de foyer F, de directrice D et d’excentricité e.
Si e < 1, la conique est une ellipse.
Si e = 1, la conique est une parabole.
Si e > 1, la conique est une hyperbole.

La parabole a un seul foyer et la directrice correspondante. Les coniques à centre — hyperbole et ellipse — ont deux foyers et une directrice pour chaque foyer. Dans l’étude de ces coniques rapportées à leurs axes, au foyer F d’abscisse c correspond la directrice D d’équation au foyer F′ d’abscisse – c la directrice D′ d’équation pour l’ellipse comme pour l’hyperbole ; les droites D et D′ sont parallèles à Oy ; l’excentricité est pour l’hyperbole, pour l’ellipse. Chacune de ces deux coniques est obtenue entièrement à l’aide d’un seul foyer et de la directrice correspondante.

E. S.

➙ Espace / Géométrie / Matrice.

 R. Deltheil et D. Caire, Géométrie (transformations, coniques) [J.-B. Baillère, 1939 ; 2^e éd., 1945]. / G. Cagnac, E. Ramis et J. Commeau, Nouveau Cours de mathématiques spéciales, t. III : Géométrie (Masson, 1965). / A. Doneddu, Mathématiques supérieures et spéciales, t. III : Compléments de géométrie algébrique (Dunod, 1973).