ℤ (suite)

Définition des entiers relatifs par une relation d’équivalence dans ℕ × ℕ

ℕ désigne l’ensemble des entiers naturels 0, 1, 2, ... ; ℕ × ℕ est l’ensemble produit de ℕ par ℕ, c’est-à-dire l’ensemble des couples (x, y) où x et y appartiennent à ℕ. Dans ℕ × ℕ, on définit la relation ℛ par
(a, b) ℛ (a′, b′) ⇔ a + b′ = b + a′.

Cette relation est :
— réflexive, car a + b = a + b entraîne (a, b) ℛ (a, b) ;
— symétrique, car
a + b′ = b + a′ ⇒ a′ + b = b′ + a ⇔ (a′, b′) ℛ (a, b) ;
— transitive, car (a, b) ℛ (a′, b′) et (a′, b′) ℛ (a″, b″) est équivalent à
a + b′ = b + a′ et a′ + b″ = b′ + a″,
ce qui donne, par addition membre à membre,
a + b″ = b + a″ ⇔ (a, b) ℛ (a″, b″).
La relation ainsi définie dans ℕ × ℕ est une relation d’équivalence.

L’ensemble des classes d’équivalence, c’est-à-dire l’ensemble-quotient de ℕ × ℕ par ℛ, est appelé l’ensemble des entiers relatifs.

exemples de couples équivalents
Les couples (2, 7), (13, 18), (732, 737) sont équivalents : ils représentent le même entier relatif. Il en est de même pour les couples (9, 6), (20, 17), (3, 0).

Dans chaque classe d’équivalence, il existe un couple dont l’un des éléments, au moins, est égal à zéro. Dans ces deux exemples, il s’agit des couples (0, 5) et (3, 0). Le couple (0, 0) est représentant de la classe (a, a), dans laquelle a décrit ℕ. Ainsi, tout entier relatif admet un représentant canonique ayant l’une des trois formes (m, 0) ou (0, n) ou (0, 0), m et n ∈ ℕ*. Ces trois formes différentes de représentants canoniques correspondent aux entiers positifs, négatifs ou nuls tels qu’on a l’habitude de les utiliser dans les calculs élémentaires. On pose
classe de (m, 0) = m ; classe de (0, n) = – n et classe de (0, 0) = 0.
On désigne par ℤ⁺ (resp. ℤ^–) l’ensemble des entiers relatifs positifs ou nuls (resp. négatifs ou nuls). Ainsi, ℤ⁺ ∩ ℤ^– = {0} et ℤ⁺ ∪ ^ℤ– = ℤ.

Addition dans ℤ

Étant donné deux couples (a₁, b₁) et (a₂, b₂) éléments de ℕ × ℕ, on appelle somme de ces couples, dans l’ordre donné, le couple (a₁ + a₂, b₁ + b₂). A priori, on doit noter autrement que par le signe + cette nouvelle addition dans ℤ. Mais on peut confondre les deux signes et considérer qu’il n’y a qu’une seule et même addition dans ℤ et dans ℕ. La définition de l’addition dans ℤ doit être justifiée : on doit obtenir le même résultat quel que soit le représentant utilisé. De façon précise, si (a, b) ℛ (a′, b′) et (c, d) ℛ (c′, d′), on doit avoir
(a + c, b + d) ℛ (a′ + c′, b′ + d′).
Or,
(a, b) ℛ (a′, b′) ⇔ a + b′ = a′ + b,
(c, d) ℛ (c′, d′) ⇔ c + d′ = c′ + d,
ce qui entraîne
a + c + b′ + d′ = a′ + c′ + b + d ou (a + b, b + d) ℛ (a′ + c′, b′ + d′).
On peut donc prendre n’importe quel représentant pour effectuer la somme de deux éléments de ℤ.

Dans ℤ, l’addition est :
— associative, ∀ x, y et z ∈ ℤ, x + (y + z) = (x + y) + z ;
— commutative, ∀ x et y ∈ ℤ, x + y = y + x ;
— à élément neutre, ∀ x ∈ ℤ, x + 0 = x. [On devrait écrire x + (0, 0) = x.]

Enfin, tout élément x de ℤ possède un symétrique appelé opposé, x′, tel que x + x′ = (0, 0). En fait, x′ peut être noté – x.

L’ensemble ℤ, muni de l’addition des entiers relatifs, est un groupe commutatif.

Multiplication dans ℤ

Comme dans le cas de l’addition, on définit une opération dans l’ensemble ℕ × ℕ ; le résultat obtenu ne dépend pas des représentants choisis dans deux classes données, ce qui définit une opération sur les classes d’équivalence, donc dans ℤ. Étant donné deux couples (a₁, b₁) et (a₂, b₂) d’entiers naturels, on appelle produit de ces couples, pris dans l’ordre donné, le couple (a₁ a₂ + b₁ b₂, a₁ b₂ + a₂ b₁).

Le produit (a, b) × (c, d) est équivalent au produit (a′, b′) × (c′, d′) si (a, b) et (c, d) sont respectivement équivalents à (a′, b′) et (c′, d′). Pour cela, on vérifie successivement que
(a, b) × (c, d) ℛ (a′, b′) × (c, d) et (a′, b′) × (c, d) ℛ (a′, b′) × (c′, d′).

Dans ℤ, la multiplication, notée comme dans ℕ, est :
— associative, ∀ x, y et z ∈ ℤ, (xy) z = x (yz) ;
— commutative, ∀ x et y ∈ ℤ, xy = yx ;
— distributive par rapport à l’addition,
∀ x, y et z ∈ ℤ, x (y + z) = xy + xz.

L’élément (1, 0), noté 1, est neutre pour la multiplication
1 ∙ x = x, ∀ x ∈ ℤ.

L’ensemble ℤ muni de l’addition et de la multiplication des entiers relatifs est un anneau commutatif, unitaire et intègre.

La dernière propriété énoncée, l’intégrité, résulte du fait que, dans ℤ, xy = 0 entraîne x = 0 ou y = 0. Sous une autre forme, (x ≠ 0 et y ≠ 0) entraîne xy ≠ 0. Comme conséquence, tout élément de ℤ* = ℤ – {0} est régulier pour la multiplication. En effet,
xa = xb ⇔ xa – xb = 0 ⇔ x (a – b) = 0 ⇔ a – b = 0,
ou a = b, si x ∈ ℤ*. Ainsi, l’égalité xa = xb entraîne a = b, c’est-à-dire permet la simplification par x.

Relation d’ordre dans ℤ

On définit dans ℤ la relation telle que (inférieur ou égal à). Cette relation est :
— réflexive, car ∀ x ∈ ℤ, x – x = 0 ∈ ℤ⁺ ;
— antisymétrique, car est équivalent à y – x ∈ ℤ⁺ et x – y ∈ ℤ⁺ ; d’où x – y ∈ ℤ⁺ ∩ ℤ^– = {0}, c’est-à-dire x – y = 0 ou x = y ;
— transitive, car ou z – x ∈ ℤ⁺, donc

C’est donc une relation d’ordre au sens large (ordre réflexif). De plus, cet ordre est total. En effet, ∀ x et y ∈ ℤ, on a ou bien (x – y) ∈ ℤ⁺ et ou bien x – y ∈ ℤ^– et . Il se peut que x – y ∈ ℤ⁺ ∩ ℤ^– = {0} et x = y, ce que n’excluent pas les deux cas envisagés d’abord.

ℤ muni de est une chaîne.

Tout entier positif x est tel que x ∈ ℤ⁺ ; d’où x – 0 ∈ ℤ⁺ et

Tout entier négatif y vérifie y ∈ ℤ^– ; d’où

Tout entier négatif est inférieur à tout entier positif : il suffit d’utiliser la transitivité et l’élément 0.

Enfin, ∀ x ∈ ℤ, car, si z – y ∈ ℤ⁺,
z – y + x – x = z + x – (y + x) ∈ ℤ⁺.

Cette propriété indique la compatibilité de la relation avec la loi + dans ℤ.

On résume tous ces résultats en disant que ℤ, muni de + et , est un groupe ordonné.