Éd. 1971-1976

vecteur (suite)

Moment d’un glisseur par rapport à un axe

• Le comoment de deux glisseurs et est le produit mixte Il est égal au produit scalaire étant le moment en A₁ du vecteur (fig. 13). Il est aussi égal à c’est-à-dire au produit scalaire du vecteur et du moment en A₂ du vecteur . On voit ainsi la symétrie de la définition du comoment de deux vecteurs. D’après les propriétés des déterminants, O étant un point quelconque, on a les relations

et désignant respectivement les moments des vecteurs et en O. Le comoment des deux vecteurs et est donc indépendant des points A₁ et A₂, ce qui justifie la définition. Le comoment est scalaire et non un vecteur.

• Le moment d’un glisseur par rapport à un axe est le comoment de ce glisseur et du vecteur unitaire de l’axe. Le vecteur unitaire de l’axe est en effet un glisseur. Le vecteur étant le moment de en O (fig. 14), le comoment de et de est le produit scalaire de et de . C’est donc la mesure algébrique sur le vecteur unitaire de la projection orthogonale du vecteur sur l’axe (Δ). Cette mesure algébrique est indépendante du point O choisi, d’après les propriétés du comoment de deux vecteurs.

Systèmes finis de glisseurs

Des glisseurs en nombre fini constituent un système fini de glisseurs. Les éléments de réduction d’un système (S) en un point O quelconque de l’espace euclidien de dimension trois sont les deux vecteurs liés suivants :

• appelé vecteur somme en O du système (S), égal à la somme des n vecteurs ;

• , appelé moment résultant en O du système (S), égal à la somme des moments des vecteurs .

Si O′ est un point de l’espace distinct de O, le vecteur somme en O′ est Le moment résultant en O′ est

Cette dernière relation montre qu’on peut calculer le moment résultant en tout point si l’on connaît le moment résultant en un point déterminé et le vecteur somme. D’autre part, il existe deux invariants pour le système (S) : l’un est le vecteur somme l’autre est le produit scalaire

puisque le produit vectoriel est perpendiculaire au vecteur donc au vecteur et qu’ainsi le produit scalaire est nul.

Systèmes équivalents, torseurs

La connaissance des éléments de réduction d’un système en un point de l’espace entraîne la connaissance de ces éléments en n’importe quel autre point. Deux systèmes (S) et (S′) ayant mêmes éléments de réduction en un point ont mêmes éléments de réduction en tout point. Dans l’ensemble des systèmes finis de glisseurs, la relation binaire a mêmes éléments de réduction que est une relation d’équivalence. Deux systèmes ayant mêmes éléments de réduction sont dits équivalents. Ce sont deux représentants distincts d’une même classe d’équivalence, appelée torseur. Pour que deux systèmes soient représentants d’un même torseur, il faut et il suffit qu’ils aient même moment en tout point. La condition est évidemment nécessaire. Inversement, si les deux systèmes (S) et (S′) ont même moment en tout point, le système (S) – (S′) a un moment nul en tout point. De la relation donnant le moment résultant du système (S) – (S′), on tire quels que soient les points O et O′. D’où et les vecteurs sommes des deux systèmes (S) et (S′) sont égaux puisque (S) – (S′) a un vecteur somme nul.

Axe central d’un torseur

C’est l’ensemble des points de l’espace en lesquels le moment résultant est colinéaire au vecteur somme. Cet ensemble est une droite. Analytiquement, un torseur est défini par son vecteur somme et son moment résultant en O, LX + MY + NZ étant invariant dans tout l’espace euclidien réel de dimension trois rapporté à une base orthonormée Au point M (x, y, z), les composantes du moment résultant sont
L′ = L –

xyyzz

Z + Y, M′ = M – X + Z, N′ = N – Y + X.
Si le vecteur somme n’est pas nul, les équations de l’axe central sont

traduisant la proportionnalité des composantes des vecteurs somme et moment résultant en un point. Ces équations sont au nombre de deux. Elles sont linéaires en x, y et z. Ce sont les équations de deux plans, donc d’une droite.

Torseurs particuliers

• Un torseur nul est un torseur dont les éléments de réduction en un point, donc en tout point, sont nuls.

• Un torseur-couple est un torseur ayant même moment en tout point de l’espace. Les deux glisseurs et ont pour vecteurs associés deux vecteurs libres opposés (fig. a). Le vecteur somme du système formé par les vecteurs et est nul. Le moment en A du vecteur est nul, car A est sur le support (Δ₁) du vecteur . Le moment en A du vecteur est AH étant perpendiculaire à (Δ₁) et (Δ₂). Ce moment est indépendant du point A choisi sur le support (Δ₁). En un point A′ quelconque de l’espace, le moment est

puisque

Le moment du système formé par les vecteurs et est le même en tout point de l’espace ; est un torseur-couple. Inversement (fig. b), si (S) est un système ayant même moment en tout point, ce moment, en un point A, est . On choisit un vecteur , d’origine A, perpendiculaire à . La droite AH est perpendiculaire aux vecteurs et . La demi-droite AH est telle que le trièdre soit direct. La longueur AH a pour valeur Le point H est ainsi déterminé. La droite (Δ₂) est la parallèle au vecteur passant par le point H. Le vecteur glissant de support (Δ₂), ayant pour vecteur associé le vecteur , a pour moment en A le vecteur . Le vecteur , de support (Δ₁) et opposé au vecteur , a un moment nul en A. Le système formé par les vecteurs et a même moment que le système (S) en tout point de l’espace, ce moment étant équipollent au vecteur . Les deux systèmes sont donc équivalents. Ainsi, un torseur-couple est équivalent au système formé de deux glisseurs associés à des vecteurs opposés. Les torseurs-couples sont les torseurs dont le vecteur somme est nul.

E. S.

➙ Déterminant / Espace euclidien de dimension trois / Géométrie / Vectoriel sur un corps commutatif.

H. Blanchard et C. Forest, Traité de mathématiques, t. II (Hachette, 1967). / G. Cagnac, E. Ransis et J. Commeau, Traité de mathématiques spéciales, t. III : Géométrie (Masson, 1971).