vecteur (suite)

Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Le module du vecteur est un nombre réel positif ; on le désigne par ou par AB. Étant donné un réel quelconque α, on désigne par le vecteur lié d’origine A, dont le support est AB, dont le module est |α| AB et dont le sens est celui du vecteur si α > 0 ou celui du vecteur si α < 0, soit (fig. 6).

Si désigne le vecteur libre dont le vecteur est un représentant, celui dont le vecteur est un représentant, on écrit

La multiplication des vecteurs libres par un scalaire est une opération externe pour l’ensemble des vecteurs libres. Si on dit que les vecteurs et sont colinéaires, comme le sont réellement deux représentants de et de , qui ont même origine.

Si α et β sont deux réels quelconques, et deux vecteurs quelconques de l’espace, on a les relations suivantes :

La première relation traduit la distributivité de la multiplication, par un scalaire, par rapport à l’addition vectorielle ; la deuxième, celle de la multiplication par rapport à l’addition des réels ; la troisième, une associativité partielle.

L’ensemble des vecteurs libres muni de l’addition vectorielle et de la multiplication par un scalaire réel a une structure d’espace vectoriel sur ℝ, ensemble des réels. Dans cet espace vectoriel, deux vecteurs non nuls et non colinéaires sont linéairement indépendants. Trois vecteurs non nuls et coplanaires sont linéairement dépendants (fig. 7) : car, d’une part, les vecteurs et , et, d’autre part, les vecteurs et sont colinéaires. Trois vecteurs non nuls et non coplanaires sont linéairement indépendants. Quatre vecteurs non nuls sont linéairement dépendants.

Glisseurs

Un vecteur glissant, ou glisseur, est une classe d’équivalence dans l’ensemble des vecteurs liés muni de la relation d’équivalence avoir même support et être équipollents. Un glisseur est donc défini par un vecteur libre et une droite qui est le support du glisseur : on note le glisseur défini par le vecteur libre et par le point A de son support, lequel est parallèle à (fig. 8).

Opérations sur les glisseurs

Les deux glisseurs et sont égaux si et seulement si et si la droite AA₁ a la direction du vecteur .

• La somme de deux glisseurs est définie si leurs supports sont concourants. Dans ce cas, on a la relation
(fig. 9).

• Le produit d’un glisseur par un scalaire réel α est le glisseur ou a Ce dernier glisseur est parfaitement défini.

Moment d’un glisseur en un point

Le moment en un point O (fig. 10) du vecteur glissant est le vecteur lié produit vectoriel des deux vecteurs et . Ce vecteur lié est indépendant du point A, car, si A′ est un autre point du support du glisseur , on a

En effet, le produit vectoriel est nul, puisque les vecteurs et sont colinéaires. Le moment est donc indépendant de l’origine choisie sur le support du glisseur, ce qui justifie la définition du moment et même l’étude des glisseurs. On peut, en particulier, prendre comme point A′ la projection orthogonale du point O sur le support du glisseur. Le module du vecteur est égal au produit des longueurs OA′ et A′B′. Le trièdre déterminé par les trois vecteurs et est direct, avec Le moment est perpendiculaire au plan déterminé par le point O et le support du glisseur quand ce point O n’appartient pas à ce support.

Si le point O est sur le support du glisseur, le moment en ce point est nul.

Si O′ est un point quelconque distinct du point O, le moment en O′ est

Cette relation permet de calculer le moment en O′, connaissant le moment en O et le vecteur libre associé au glisseur. D’ailleurs, il est possible de déterminer un glisseur dont on connaît le moment en un point O et le vecteur associé , à condition que les deux vecteurs et soient orthogonaux.

Si le support du glisseur est la droite passant par le point O et parallèle au vecteur (fig. 11).

Si (fig. 12), le support cherché est dans le plan (P) passant par le point O et perpendiculaire au vecteur . Le trièdre devant être direct, le point H ne peut appartenir qu’à l’un des deux demi-plans déterminé, dans (P), par la parallèle au vecteur passant par le point O. D’autre part, la distance OH du point O au support cherché est telle que ce qui détermine d’abord la longueur puis le point H, puisque l’angle (OH, OV) est droit : d’où le support passant par le point H et perpendiculaire à OH.

Détermination analytique d’un glisseur

L’espace euclidien est rapporté à un repère orthonormé Le glisseur est défini par les coordonnées (x, y, z) du point A et les composantes du vecteur libre Le moment en O, a pour composantes
L = yZ – zY, M = zX – xZ, N = xY – yX,
entre lesquelles existe la relation LX + MY + NZ = 0, ce qui traduit analytiquement, à l’aide du produit scalaire . , que le vecteur est orthogonal au vecteur .

Inversement, on peut se donner un glisseur par son moment en O,

et son vecteur associé tels que ou LX + MY + NZ. Le support du glisseur est l’ensemble des points M (x, y, z) tels que

c’est-à-dire tels que
yZ – zY = L, zX – xZ = M, xY – yX = N.

Ces trois équations sont compatibles, car LX + MY + NZ = 0 ; elles se réduisent donc à deux équations de plans définissant une droite, support du vecteur glissant étudié.