topométrie (suite)

Les mesures des angles horizontaux et verticaux

On utilise un théodolite, dont le principe est identique à celui du tachéomètre. Toutefois, on élimine le défaut d’excentricité de l’axe principal par rapport au cercle horizontal ainsi que le défaut d’excentricité de l’axe des tourillons par rapport au cercle vertical en explorant les graduations diamétralement opposées de ces cercles et en prenant la moyenne des lectures ; celles-ci sont effectuées avec une sensibilité de 0,0001 gr, alors que les tachéomètres ne permettent que d’apprécier le milligrade. Toutes les mesures d’angles horizontaux et verticaux sont exécutées cercle à droite et cercle à gauche, et l’on prend leurs moyennes, qui sont affranchies de plusieurs erreurs instrumentales. Pour augmenter la précision de la mesure des angles horizontaux, on effectue plusieurs réitérations en changeant la position du cercle ou plusieurs répétitions en alternant mouvement particulier et mouvement général, ce qui permet de juxtaposer sur le cercle plusieurs fois l’angle à mesurer.

Orientation

Toute direction AB est définie dans le plan de projection par son gisement V_AB, angle qu’elle fait avec la direction de l’axe des ordonnées y du quadrillage ; cet angle est compté de 0 à 400 gr dans le sens des aiguilles d’une montre (fig. 8). Si on appelle x_A, y_A les coordonnées du point A et x_B, y_B celles du point B, on a

La mesure de l’angle permet d’obtenir le gisement de AM à partir de celui de AB :

On obtient ainsi pour AM une orientation goniométrique.

Les procédés topométriques

Procédés par mesures d’angles

• L’intersection topométrique traduit par le calcul les opérations de l’intersection topographique. Pour déterminer les coordonnées d’un point M visibles de trois points A, B, C de coordonnées connues, on mesure au théodolite les angles (fig. 9). Puis on calcule les coordonnées x₀y₀ du point approché M₀ en résolvant le triangle ABM₀. On vérifie ensuite, grâce à la valeur de l’angle que le gisement de la direction observée CM₁ correspond, aux erreurs d’observation près, au gisement calculé de la direction CM₀. L’angle M₀CM₁ = ε doit donc être très petit. On matérialise graphiquement à grande échelle le triangle M₀M₁M₂, appelé chapeau, et on place le point définitif M à des distances respectivement proportionnelles aux longueurs des visées. Il suffit de mesurer graphiquement les différences de coordonnées entre M₀ et M pour obtenir des coordonnées de M.

• Le relèvement topométrique s’apparente aussi au relèvement topographique ; il consiste à placer le théodolite au point M à déterminer, à viser successivement quatre points A, B, C, D de coordonnées connues, ce qui permet d’obtenir la valeur des quatre angles α, β, γ₂ et γ₁ (fig. 10). À partir des trois points A, B, C, on calcule les coordonnées d’un point approché M₀, déterminé par l’intersection des arcs capables relatifs, d’une part, au segment AC et à l’angle β, et, d’autre part, au segment BC et à l’angle α. En fait, on évite le calcul de l’intersection de ces deux cercles par de nombreuses méthodes. La méthode du relèvement italien permet de ramener le problème à la détermination de deux intersections : l’intersection N du cercle circonscrit au triangle ABM₀ avec la direction CM₀ et l’intersection M₀ des directions AM₀ et BM₀ de gisements connus (fig. 11).

La méthode de Hatt permet de tracer graphiquement à partir de M₀ les segments capables (arcs assimilés à leurs tangentes) relatifs aux points A, B, C, D. On détermine la position du point définitif M près des segments de faible sensibilité et l’on mesure graphiquement les différences de coordonnées entre M₀ et M.

Procédés par mesures d’angles et de distances

Le rayonnement revient à définir la position d’un point M en coordonnées polaires par son angle polaire avec une direction connue AB et par son rayon polaire AM (fig. 8). Ayant obtenu le gisement de AM par (3), on en déduit les coordonnées de M.

• Le cheminement permet de relier deux points connus A et B par une succession de rayonnements M₁, M₂, ..., M_n–1. On mesure les longueurs des côtés successifs AM₁, M₁M₂, etc., ainsi que les angles formés par deux côtés consécutifs (fig. 12). On calcule les gisements des différents côtés, d’où on déduit les coordonnées de M₁, de M₂, ..., de M_n–1 par des formules analogues à (4). À titre de vérification, on calcule les coordonnées obtenues à partir de M_n–1 et on les compare aux coordonnées connues x_B, y_B. Les écarts de fermeture en abscisse, et en ordonnée, doivent être compatibles avec les erreurs d’observation. La compensation du cheminement consiste à répartir ces écarts en corrigeant les coordonnées obtenues. Pour réduire au maximum les erreurs dues aux défauts de centrage, on utilise la méthode des trois trépieds. Chaque trépied comporte une embase pouvant être centrée au-dessus ou au-dessous du sommet du cheminement grâce à un viseur nadiro-zénithal qui matérialise optiquement la verticale. Après avoir terminé les observations au théodolite en p (fig. 13), on déplace le trépied (p – 1) en (p + 2) et l’on permute théodolite et voyant en p et en p + 1 en laissant les embases fixes. Grâce au centrage forcé dans les embases du voyant et du théodolite, l’axe principal de celui-ci occupe rigoureusement l’emplacement de l’axe du voyant et vice versa.

• La triangulation locale permet de pallier l’absence de canevas géodésique. On choisit une base de départ AB, dont on mesure la longueur et que l’on oriente par un procédé autre que l’orientation goniométrique. On matérialise ensuite sur le terrain toute une série de sommets de triangles PQRSCD, et l’on mesure les angles de ces triangles au théodolite. On assure la fermeture de chaque triangle en corrigeant les angles de manière que leur somme soit rigoureusement égale à 200 gr. La relation des sinus appliquée à chaque triangle permet de calculer de proche en proche les longueurs des côtés adjacents BP, PQ, QR, RS, SC et enfin DC (fig. 14), que l’on compare à la longueur CD, mesurée directement, opération dite accord des bases, d’où on déduit des angles ajustés. On fixe arbitrairement les coordonnées du point A, on choisit pour le gisement de AB la mesure de l’azimut correspondant (axe des y confondu avec le nord géographique) et l’on calcule de proche en proche les coordonnées des sommets de la triangulation.