quadrique (suite)
Si dét M = 0, la quadrique (S) admet un point double et un seul, I(x0, y0, z0), puisque d ≠ 0 et qu’ainsi (S) est de seconde espèce. C’est un cône de sommet I, imaginaire si les trois valeurs propres λ1, λ2 et λ3 sont de mêmes signes, et réel dans le cas contraire.
Il se peut que les racines λ1, λ2 et λ3 de l’équation caractéristique de M1 ne soient pas deux à deux distinctes.
• 
ellipsoïde de révolution autour de Oz, aplati si a > c et allongé si a < c.
Si a = c, les trois valeurs propres sont égales, et l’ellipsoïde est une sphère.
• 
hyperboloïde à une nappe, de révolution autour de Oy.
• 
hyperboloïde à deux nappes, de révolution autour de Oz.
• λ (x2 + y2) + λ3z2 = 0 pour λ2 = λ1 = λ, cône de révolution autour de Oz.
Réduction des paraboloïdes et des cylindres
La conique à l’infini (Γ) de ces quadriques est décomposée en deux droites, car le déterminant d de la matrice M1 est nul. Il en résulte que l’une, au moins, des valeurs propres λ1, λ2 ou λ3 de M1 est nulle.
• λ3 = 0 est racine simple. Il existe une base de vecteurs propres, orthonormée, d’origine O. On fait un changement d’axes, sans changement d’origine, en plaçant les nouveaux axes OX, OY et OZ sur les vecteurs propres correspondant aux valeurs propres λ1, λ2 et λ3 = 0. L’équation f(x, y, z) = 0 de la quadrique (S) devient
1. Si 
on obtient l’équation réduite
en posant
ce qui indique une translation de deux axes, OX et OY. La surface obtenue est un cylindre de génératrices parallèles à Oz :
2. Si 
on obtient l’équation réduite
en posant
ce qui indique un changement d’origine et une translation des axes. En posant 
on a l’équation réduite 
• λ3 = 0 est racine double. On arrive successivement aux équations
OY et OZ étant portés par deux vecteurs propres correspondant à la valeur propre nulle λ3, puis
en posant
ce qui indique une translation des axes OX et OY. On peut prendre comme nouvel axe des ordonnées la droite du plan Y′O′Z′, d’équation 
(comme axe O′Y1), O′Z1 étant perpendiculaire à O′Y1 et O′X1 = O′X′. On a l’équation réduite 
K étant une constante convenable, qui est l’équation d’un cylindre parabolique de génératrices parallèles à O′Z′.
1. Si 
on obtient l’équation réduite 
avec
ce qui indique une translation des axes OX et OY. On obtient encore un cylindre parabolique.
2. Si 
on a l’équation réduite λ1X′2 + K = 0, avec 
qui est l’équation de deux plans parallèles, réels si λ1K < 0 et imaginaires si λ1K > 0.
On obtient ainsi toutes les équations réduites de quadriques et on les identifie aisément.
E. S.
➙ Conique / Déterminant / Espace euclidien de dimension trois / Matrice / Quadratique (forme).
G. Cognac, E. Ramis et J. Commeau, Nouveau Cours de mathématiques spéciales, t. III : Géométrie (Masson, 1963). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966). / H. Blanchard et C. Forest, Traité de mathématiques, t. III (Hachette, 1970). / J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. I : Algèbre (Dunod, 1971).
