homographie ou correspondance homographique (suite)
Dans deux plans distincts ou confondus, deux faisceaux de droites, de sommets distincts ou confondus, sont homographiques si les paramètres définissant les droites génératrices des deux faisceaux se correspondent homographiquement. Si le faisceau de sommet I est défini par D + λ D′ = 0 et le faisceau de sommet J par X + μ X′ = 0, ces faisceaux sont homographiques si λ et μ sont liés par la relation
A λ μ + B λ + C μ + D = 0.
Si les faisceaux sont dans un même plan et les points I et J distincts, le point d’intersection M des rayons homologues ∆ et Y qui engendrent respectivement les deux faisceaux décrit une conique passant par I et J. En effet, en axes quelconques, les coordonnées de M vérifient les équations
D + λ D′ = 0 et X + μ X′ = 0,
puisque M est sur ∆ et sur Y ; on obtient l’équation de l’ensemble décrit par M, quand ∆ et Y varient, en éliminant λ et μ entre les équations du système
D + λ D′ = 0, X + μ X′ = 0 et A λ μ + B λ + C μ + D = 0,
soit
qui est l’équation d’une conique puisque tous les termes, DX, DX′, XD′ et D′X′, sont du second degré. Dans le cas particulier où IJ serait son propre homologue, la conique est dégénérée en deux droites : IJ et une droite distincte de IJ, qui est le véritable ensemble décrit par le point M.
Construction du rayon homologue d’un rayon donné
Les faisceaux homographiques sont donnés par leurs sommets respectifs I et J, par trois rayons et leurs trois homologues.
Un cercle (Γ) passant par I et J coupe les trois rayons issus de I respectivement en A, B et C et leurs homologues issus de J en A′, B′ et C′. On connaît de plus le point M, intersection de (Γ) et d’un quatrième rayon issu de I ; on cherche l’homologue de IM, soit JM′. Les faisceaux auxiliaires A′(A, B, C, M) et A(A′, B′, C′, M′) sont respectivement égaux aux faisceaux I(A, B, C, M) et J(A′, B′, C′, M′) [propriétés des angles inscrits interceptant le même arc : ils sont égaux]. Ils ont donc même birapport puisque les faisceaux I(A, B, C, M) et J(A′, B′, C′, M′) se correspondent homographiquement. Mais il y a un rayon double, AA′, pour les deux faisceaux auxiliaires ; par suite, les rayons homologues se coupent sur une droite (axe d’homographie) qui est déterminée par β et γ. Cette droite coupe A′M en μ ; μA coupe le cercle (Γ) en M′, qui est ainsi déterminé. Les points M et M′ sont confondus si μ est en L ou en L′ ; il en est alors de même de M et de M′.
Homographie sur une conique
Toute conique propre (non dégénérée en deux droites) est susceptible d’une représentation paramétrique rationnelle 
étant un trinôme du second degré, f(t) et g(t) étant des polynômes du second degré au plus. Deux points M et M′ d’une conique se correspondent homographiquement s’il en est de même des paramètres t et t′ qui les définissent. La considération de points ainsi liés conduit à d’intéressantes propriétés ponctuelles ou tangentielles des coniques comme, par exemple, le théorème de Pascal et celui, corrélatif, de Brianchon.
E. S.
➙ Conique / Géométrie / Involution.
R. Deltheil et D. Caire, Compléments de géométrie (Baillière, 1951). / G. Cagnac, E. Ramis et J. Commeau, Nouveau Cours de mathématiques spéciales (Masson, 1963 ; 4 vol.). / A. Blanchard et C. Forest, Traité de mathématiques (Hachette, 1969). / J. Lelong-Ferraud et J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques (Dunod, 1972).