Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
H

homochromie (suite)

 L. Cuénot, la Genèse des espèces animales (Alcan, 1920 ; 3e éd., 1932). / P. Vignon, Introduction à la biologie expérimentale (Lechevalier, 1930). / H. B. Cott, Adaptive Coloration in Animals (Londres, 1940 ; 2e éd., 1957). / R. Hardouin, le Mimétisme animal (P. U. F., 1946). / L. Chopard, le Mimétisme (Payot, 1949). / P. Pesson, le Monde des insectes (Horizons de France, 1958). / H. M. Fox et H. G. Vevers, The Nature of Animal Colours (Londres, 1960). / A. et E. Klotz, les Insectes vivants du monde (Hachette, 1963).

homographie ou correspondance homographique

Correspondance entre deux variables, algébrique, rationnelle et du premier degré par rapport à chacune des variables.


Toute relation homographique est de la forme
Axx′ + Bx + Cx′ + D = 0.
Les variables x et x′ peuvent être les abscisses de deux points sur deux axes distincts ou confondus, les coefficients directeurs de deux droites, les paramètres définissant deux points sur une conique, les paramètres de deux plans de deux faisceaux de plans distincts ou confondus, etc.


Forme réduite de la relation Axx′ + Bx + Cx′ + D = 0

1. A = 0. La correspondance est encore définie si B.C ≠ 0 ; on peut alors calculer l’une des variables en fonction de l’autre, par exemple la relation est dite linéaire.

2. A ≠ 0. La relation Axx′ + Bx + Cx′ + D = 0 est équivalente à

Si BC – AD ≠ 0, à toute valeur finie de x différente de correspond une valeur finie de x′ ; à toute valeur finie de x′ différente de correspond une valeur finie de x ; si x′ est infini ; si x est infini. Ainsi, à toute valeur finie ou infinie de l’une des variables correspond une valeur finie ou infinie de l’autre et une seule. Si BC – AD = 0, la relation

est dite « singulière » ou « impropre » ; elle ne définit plus une véritable correspondance.


Propriété fondamentale de la relation homographique

Dans le cas général, A ≠ 0, la relation
Axx′ + Bx + Cx′ + D = 0
permet de calculer l’une des variables en fonction de l’autre, par exemple

et la fonction f telle que est une fonction homographique qui a toute valeur de x différente de associe une valeur de x′ et une seule. Cette fonction homographique est d’ailleurs le produit des transformations suivantes :

Cette décomposition de f montre que la transformation homographique conserve le birapport.

On appelle le birapport des quatre nombres x1, x2, x3 et x4 la quantité, notée (x1,x2,x3,x4), telle que

Il faut montrer que

Comme les transformations qui composent f sont du type ou il suffit de vérifier la propriété pour chacune des trois. La propriété est évidente pour les deux premières. Pour la dernière, la quantité

est transformée, par en

Il suffit de simplifier par et de changer de signes les quatre différences qui interviennent dans le birapport.

Cette invariance du birapport de quatre nombres dans toute transformation homographique est fort importante et permet de démontrer, en particulier, d’intéressantes propriétés sur les coniques et les quadriques par la considération de couples de points, de droites ou de plans se correspondant homographiquement. On peut remarquer, comme première conséquence de cette invariance, qu’une correspondance homographique est déterminée par la donnée de trois couples de points homologues, Pour trouver la relation homographique liant x à x′, il suffit en effet d’écrire :

ce qui traduit l’invariance du birapport.


Divisions homographiques

Sur deux axes distincts ou confondus, deux points M et M′ décrivent deux divisions homographiques si les abscisses respectives de ces points sont liées par une relation homographique. Si l’on désigne sur ces axes par I et J′ les points d’abscisses respectives (J′ n’est pas l’homologue de I), la relation

s’écrit
Les points I et J′ sont, chacun sur un axe, l’homologue du point à l’infini sur l’autre axe ; on les appelle les points limites de l’homographie. Si les deux axes sont confondus, il y a deux points, H et K. doubles, réels ou imaginaires, distincts ou confondus, dont les abscisses sont les racines de l’équation
Ax2 + (B + C)x + D = 0.
La demi-somme des racines de cette équation étant

est égale à la demi-somme des abscisses des points limites I et J′ : il en résulte que les segments IJ′ et HK ont même milieu.

Construction de l’homologue M′ de M dans deux divisions homographiques de bases différentes

Les divisions homographiques décrites par M et M′, respectivement sur X et X′, sont définies par les trois points A, B, C et leurs transformés A′, B′, C′. On obtient le point M′ en traçant la droite D qui, joignant les points d’intersection β de AB′ et A′B et γ de AC′ et A′C, coupe A′M en μ. Le point M′ est l’intersection de X′ et de A μ. En effet, les faisceaux de droites (A′B, A′C, A′α, A′M) et (AB′, AC′, Aα, AM′) sont des faisceaux homographiques : le birapport des quatre droites de l’un est égal au birapport des quatre droites de l’autre (birapport de leurs coefficients angulaires), égal à (βγαμ), égal aussi à (B, C, A, M) ou (B′, C′, A′, M′). Le point M′ est donc bien l’homologue du point M puisque
(B, C, A, M) = (B′, C′, A′, M′).
La droite D est l’axe d’homographie. En appliquant la construction précédente au point ω, on voit que O est le transformé de ω et que O a pour transformé ω′.


Faisceaux homographiques de droites

Un faisceau de droites est engendré par une droite ∆ tournant autour d’un point fixe I. Si D et D′ sont deux positions particulières données de ∆, d’équations respectives ux + vy + h = 0 et u′x + v′y + h′ = 0, écrites simplement D = 0 et D′ = 0, toutes les positions de la droite ∆ sont représentées par l’équation générale D + λ D′ = 0, λ étant un paramètre définissant, de façon biunivoque, la droite ∆ (par exemple, ∆ est définie par I et un autre point, ce qui définit λ ; inversement, la donnée de λ définit ∆).