Relation de la forme f(α) = 0 avec

f(x) étant un polynôme dont les coefficients a₀, a₁, ..., a_k, ... a_n appartiennent à un anneau A commutatif.

Résoudre une telle équation, c’est trouver dans l’anneau A ou dans un de ses sur-anneaux les éléments α vérifiant la relation f(α) = 0. Un tel élément α est une racine de l’équation f(x) = 0 ou un zéro du polynôme f(x). Il est commode, dans l’étude des équations algébriques, de se placer dans un corps commutatif comme le corps ℂ des nombres complexes ou un de ses sous-corps.
a) Pour que α soit racine de l’équation f(z) = 0, il faut et il suffit que f(z) soit divisible par z – α, c’est-à-dire que l’on puisse écrire

b) Le nombre α est racine d’ordre m (m entier naturel) de l’équation f(z) = 0 si l’on a f(z) = (z – α)^m . g(z) avec g(α) ≠ 0.
Pour m = 1, α est racine simple ; pour m = 2, α est racine double ; etc. Pour que α soit racine d’ordre m de l’équation f(z) = 0, il faut et il suffit que α annule f(z) et ses m – 1, premières dérivées f ′(z), f ″(z), ..., f ^(m – 1)(z).
c) Théorème de d’Alembert. Toute équation algébrique de degré n à coefficients réels ou complexes a, au moins, une racine dans le corps des complexes.
Il en résulte que toute équation algébrique sur le corps ℂ des complexes et de degré n, f(z) = 0, a exactement n racines et que le polynôme f(z) se décompose de façon unique sur ℂ en un produit de facteurs du premier degré. Tous ces facteurs n’étant pas nécessairement distincts, la décomposition de f(z) s’écrit

les nombres α₁, α₂, ..., α_p étant deux à deux distincts, et les entiers naturels n₁, n₂, ..., n_p vérifiant l’égalité n₁ + n₂ + ... + n_p = n.
a appartient à ℂ.
d) Un polynôme est réductible sur un corps K s’il se décompose en un produit de polynômes de degrés moindres et à coefficients dans K. Dans le cas contraire, il est irréductible sur K. Ainsi, z² – 3 est irréductible sur le corps ℚ des rationnels, mais est réductible sur le corps ℝ des réels, car

De même, z² + 1 est irréductible sur ℝ, mais est réductible sur ℂ, car
z² + 1 = (z + i) (z – i).
Il résulte du théorème de d’Alembert que tout polynôme à coefficients réels ou complexes est non seulement réductible sur ℂ, mais complètement décomposable sur ℂ. Pour les polynômes à coefficients réels, on a un résultat particulier : tout polynôme à coefficients réels est décomposable sur ℝ en un produit de polynômes du premier et du second degré. Par suite, tout polynôme à coefficients réels et de degré supérieur à deux est décomposable sur ℝ.

Résolution des équations à coefficients réels ou complexes et de degré inférieur à cinq

Équation du premier degré

Elle se met sous la forme générale az + b = 0. Elle admet une solution unique

Équation du second degré

La forme générale est
az² + bz + c = 0, avec a ≠ 0.

a) Les coefficients a, b et c sont réels. On calcule la quantité
Δ = b² – 4 ac,
appelée discriminant de l’équation.

Si Δ > 0, l’équation a deux racines réelles distinctes

Si Δ = 0, l’équation a une racine double réelle

Si Δ < 0, l’équation a deux racines complexes distinctes

Ces deux racines complexes sont imaginaires conjuguées.