métalogique
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Logique, Mathématiques
Étude des propriétés syntaxiques et sémantiques des systèmes logiques.
Axiomatisant de la géométrie euclidienne, D. Hilbert construisit un système déductif totalement formalisé qui ne répondait qu'à des règles explicites de formation et de transformation des formules. Il conçut alors la métamathématique comme l'étude de la structure déductive des systèmes formels ayant notamment pour objet d'établir leur non-contradiction(1). De là est née la métalogique, qui étudie les propriétés syntaxiques et sémantiques des systèmes logiques : la consistance, définie relativement à la négation comme non-contradiction (on ne démontre pas à la fois A et ¬ A) ; la complétude, assurant que tout théorème démontré est en même temps proposition valide et réciproquement ; la décidabilité (l'existence d'un algorithme permettant d'établir pour toute proposition si elle est démontrable ou valide) ; l'indépendance des axiomes, etc.
Dans l'esprit de Hilbert, la métamathématique devait assurer l'autofondation des systèmes logico-mathématiques. Mais, dès 1931, Gödel prouva l'incomplétude (l'impossibilité de démontrer une formule valide) de tout système logique capable de formaliser l'arithmétique récursive(2). Ce fut le début d'une longue liste de métathéorèmes de limitation qui sonnèrent le glas de l'espoir hilbertien(3).
Denis Vernant
Notes bibliographiques