Löwenheim-Skolem (théorème de)

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique

Théorème obtenu par Löwenheim (1915) et Skolem (1919), et selon lequel chaque théorie du premier ordre qui possède un modèle possède un modèle dénombrable.

Le théorème de Löwenheim-Skolem est un résultat d'apparence paradoxale, puisqu'il implique, par exemple, que la théorie des ensembles est satisfaite dans un univers dénombrable (c'est-à-dire dont les éléments peuvent être mis en correspondance bi-univoque avec les entiers naturels), alors même que l'on peut démontrer dans cette théorie l'existence d'ensembles non dénombrables. Cette difficulté vaut au résultat le nom de théorème de Löwenheim-Skolem descendant (certaines théories ont des modèles beaucoup plus petits que ce à quoi l'on pourrait s'attendre), par opposition à un résultat comparable prouvé en 1928 par Tarski (théorème de Löwenheim-Skolem ascendant), et selon lequel toute théorie possédant un modèle infini possède aussi des modèles de chaque cardinalité supérieure. On peut voir dans ces résultats une limitation dans la manière dont la référence des termes mathématiques peut être fixée ou déterminée par les théories dans lesquelles ils figurent.

Jacques Dubucs

→ infini, modèle, satisfaction