Maxwell (équations de) (suite)

Dans l’article induction électromagnétique, il a été établi : où est le champ électromoteur. En tout point, le champ électrique peut s’écrire où est le champ électrostatique dérivant du potentiel V : Comme il vient

Comme il vient d’où
qui peut remplacer (1).

Équations traduisant les propriétés de la matière

Ainsi qu’il est montré par ailleurs :

ε, μ, γ étant respectivement la permittivité, la perméabilité magnétique et la conductibilité du milieu. Les relations (6), (7), (8) deviennent tensorielles dans les milieux anisotropes.

Conservation de la charge électrique

Soit un volume v limité par une surface S (fig. 2). La quantité d’électricité qu’il contient est

L’intensité du courant sortant de S s’écrit alors

Or, (théorème de Stokes), d’où

Cette relation suppose la distribution des charges Durement volumique. Si on considère maintenant deux milieux A, B séparés par une surface Σ (fig. 3), on désigne par σ la charge surfacique en un point M de Σ. Soit dΣ un élément de Σ entourant M, et la normale unitaire orientée de A vers B. Sur la face A de dΣ la densité de courant est et l’intensité du courant venant de A est

Sur la face B de dΣ, la densité du courant est et l’intensité du courant venant de B est

Par suite, l’accroissement de la charge électrique de dΣ dans le temps dt est

Or, composantes normales de et mesurées avec une normale unitaire orientée de A vers B

Équations aux limites

Les équations de Maxwell proprement dites doivent être complétées par des relations traduisant les continuités ou discontinuités aux limites des milieux. Nous admettrons que les équations déjà rencontrées en électrostatique et en magnétostatique restent vraies au franchissement d’une surface de séparation de deux milieux A et B.
— Il y a conservation de la composante tangentielle de  :

— Il y a conservation de la composante normale de  :

(Voir démonstrations dans les articles correspondants.)
— La discontinuité de la composante normale de D est égale à la charge surfacique σ :

En effet, le flux sortant de la face B de dΣ est pour le vecteur (fig. 4) D_NB · dΣ ; celui qui sort de la face A est – D_NA · dΣ. D’après le théorème de Gauss, le flux total sortant est dΦ = σ · dΣ = (D_NB – D_NA) dΣ, d’où

(D_NB et D_NA mesurées avec le vecteur unitaire orienté de A vers B.)

— La discontinuité de la composante tangentielle de ne dépend que de  :

Considérons (fig. 5) un rectangle infinitésimal X_AY_AX_BY_B perpendiculaire à la surface de Σ, de séparation de A et B, et la coupant selon XY. En faisant tendre X_A, X_B vers X, et Y_A, Y_B vers Y, la circulation de H le long de ce contour tend vers étant les composantes de et tangentes à la surface Σ.

Si di est l’intensité du courant enlacé par le contour (à travers le rectangle),

densité de courant sur XY ;
normale unitaire orientée de A vers B.
D’après le théorème d’Ampère,
d’où

Relation de Lorentz nouvelle forme des équations de Maxwell

On a vu que les équations de Maxwell précédentes nécessitent l’introduction d’un courant fictif : le courant de déplacement dont la densité est On peut remplacer cette fiction par l’introduction d’une relation supplémentaire, dite « de Lorentz », il en résulte une nouvelle forme des équations de Maxwell.

Entre les équations (5), (3) et (6) il vient

dans lequel ΔV est le laplacien de V, c’est-à-dire

Entre (2), (7) et la relation il vient

d’où, vu (5) et (6),
Or, en mathématiques, on établit :

 : laplacien du vecteur Par suite :

On impose alors à et V de satisfaire la relation

C’est la relation de Lorentz. Elle est toujours possible. En effet, on ne change pas en remplaçant f étant une fonction arbitraire de x, y, z, t, puisque

En reportant dans (5), il vient :

donc n’est pas changé si on remplace V par

Finalement, et V sont définis à une fonction arbitraire f près. On peut toujours choisir cette fonction arbitraire pour que l’équation de Lorentz (15) soit remplie. Dans ces conditions, il vient :

Finalement, on aboutit à une nouvelle forme des équations de Maxwell :

On remarque que l’artifice des courants de déplacements a disparu.

Équations de Maxwell et relativité

Tout point est caractérisé par ses coordonnées d’espace x, y, z et de temps t prises par rapport à un référentiel donné R. C’est en utilisant ces quatre quantités que l’on écrit les équations de Maxwell. On peut être conduit à changer de référentiel et à utiliser les coordonnées x′, y′, z′, t′ par rapport au référentiel R′ en mouvement vis-à-vis de R. Les équations de Maxwell restent inchangées dans leur forme, mais il est impératif de passer des grandeurs exprimées dans le référentiel R aux grandeurs correspondantes dans R′, en utilisant les transformations relativistes.

Plus précisément, si R′ se translate à vitesse par rapport à R, l’axe O′x′ glissant sur Ox, les axes O′y′, O′z′ restant parallèles à Oy, Oz (fig. 6), on doit écrire :

Il en résulte les notions de contraction des longueurs (parallèles à v) et de dilatation du temps.

Les quantités d’électricité ont des mesures invariantes, et par suite une charge volumique aura la valeur ρ₀ pour l’observateur qui l’accompagne et

pour celui qui la voit se déplacer à la vitesse v.

On remarquera que x² + y² + z² – c²t² = x′² + y′² + z′² – c²t′².

Cet invariant apparaît comme la « longueur » d’un vecteur à quatre dimensions dont les composantes sont x, y, z, u = jct dans R, et x′, y′, z′, u′ = jct′ dans R′ (j² = – 1).

Ce vecteur est dit « quadrivecteur ». On passe des composantes x, y, z, u à x′, y′, z′, u′ par les simples relations suivantes :