La recherche mathématique

L’évolution permanente des mathématiques résulte des progrès de la recherche. L’étude toujours plus approfondie tant des grandes branches classiques que des domaines nouveaux pose toujours des problèmes inattendus, dont la résolution s’obtient parfois par utilisation de l’arsenal des outils déjà inventoriés. Aussi intéressants qu’ils soient, ces problèmes ne sont pas alors essentiels aux progrès de la science, puisqu’ils étaient déjà virtuellement résolus.

Parfois, au contraire, certains problèmes posés soit par les mathématiques elles-mêmes, soit par d’autres parties de la science exigent qu’un nouvel outillage mathématique soit forgé. Les tentatives de résolution sont assez aléatoires. Si elles échouent, le problème reste ouvert, et ce cas est assez fréquent. Mais, parfois, se fiant à son intuition, à son flair, le mathématicien créera une « structure nouvelle », à laquelle il donnera évidemment une solide consistance logique. Le nouvel être mathématique se révélera peut-être utile soit pour la résolution du problème posé — ce sera la situation optimale —, soit pour d’autres problèmes qui n’avaient pas été prévus, mais qui se révéleront importants. Un exemple classique de cette situation est la création, vers 1840, par Ernst Eduard Kummer (1810-1893), des nombres idéaux, améliorés par Richard Dedekind* (1831-1916) sous la forme des idéaux d’anneaux. Kummer avait créé ces nombres pour résoudre le grand théorème de Fermat*, qui reste encore actuellement un problème ouvert. Les idéaux apportaient une solution partielle de ce théorème, mais surtout la nouvelle structure s’est trouvée l’une des plus fécondes dans des branches très diverses des mathématiques.

Enfin, parfois, et c’est le cas le plus défavorable, la nouvelle structure, bien que logiquement viable, ne se révèle applicable dans aucun domaine de la science. Elle est alors purement et simplement abandonnée, quitte à être redécouverte par d’autres chercheurs et, mieux exploitée, à se révéler alors féconde.

Les mathématiques actuelles se trouvent ainsi subdivisées en des domaines distincts de recherche, plus ou moins actifs et dont on peut retrouver la filiation historique : c’est ainsi que la géométrie grecque des courbes a donné naissance au xvii^e s., grâce à Descartes* et par son rattachement à l’algèbre des équations, à la géométrie analytique, méthode de recherches qui eut son époque de fécondité, mais qui, à l’heure actuelle, ne sert plus guère qu’à l’enseignement. Toutefois, la géométrie algébrique moderne, dont les racines plongent dans cette géométrie analytique, est un domaine des hautes mathématiques aujourd’hui en pleine activité.

En plus de ces subdivisions traditionnelles, on utilise, en mathématique, les diverses structures qui se retrouvent dans des branches fort diverses de la recherche. Elles donnent à cette science son unité profonde et sa fécondité. Leur étude apporte aux chercheurs une économie et une efficacité de pensée qui leur permettent de s’attaquer avec succès à d’anciens problèmes réputés impossibles et d’en soulever de nouveaux dont leurs prédécesseurs ignoraient jusqu’à l’existence, utilisant ainsi dans tout le champ du savoir un outil d’une efficacité sans pareille.

J. I.

➙ Algèbre / Analyse / Arithmétique / Axiomatique (méthode) / Ensemble / Géométrie / Logique / Métamathématique / Probabilité.

 J. Hadamard, An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field (Princeton, 1945 ; nouv. éd., 1949 ; trad. fr. Essai sur la psychologie de l’invention dans le domaine mathématique, Blanchard, 1959). / J. R. Newman, The World of Mathematics (New York, 1956 ; 4 vol.). / N. Bourbaki, Éléments d’histoire des mathématiques (Hermann, 1960 ; nouv. éd., 1969). / E. W. Beth et J. Piaget, Épistémologie mathématique et psychologie (P. U. F., 1961). / F. Le Lionnais, les Grands Courants de la pensée mathématique (Blanchard, 1962). / J. Cavaillès, Philosophie mathématique (Hermann, 1963). / R. Taton (sous la dir. de), Histoire générale des sciences, t. IV : l’Époque contemporaine, vol. II : le xx^e siècle (P. U. F., 1964). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966). / « Épistémologie des mathématiques », in Logique et connaissance scientifique sous la dir. de J. Piaget (Gallimard, « Encycl. de la Pléiade », 1967). / L. Chambadal, Dictionnaire des mathématiques modernes (Larousse, 1969 ; nouv. éd., 1972). / J. T. Desanti, Recherches sur la formation du concept de mesure des ensembles (Thèse, Paris, 1970 ; 2 vol.). / P. Levy, Quelques aspects de la pensée d’un mathématicien. Souvenirs mathématiques. Considérations philosophiques (Blanchard, 1970).