analyse (suite)
Tout le xixe s. fera des séries entières convergentes un des fondements de l’analyse et, en particulier, dans le domaine complexe, Weierstrass, comme d’ailleurs Charles Méray en France, définit une fonction par un développement en série entière au voisinage d’un point régulier, la déterminant ensuite de proche en proche par son prolongement analytique. Cependant, à la fin du siècle, certains analystes s’attaquent aux séries divergentes, qu’Abel avait voulu bannir des mathématiques, et obtiennent quelques succès.
Le calcul des variations
Sous ce terme, avancé par Euler en 1766, on entend l’étude des extrémums, de certaines intégrales. On peut faire remonter ce calcul à la démonstration de la loi de réfraction de la lumière, donnée par Fermat à la fin de sa vie et fondée sur le principe du chemin minimal. Leibniz et les frères Bernoulli résolvent plusieurs problèmes analogues, et Euler systématise en 1744 les techniques de résolution. Les principes de minimum de travail, ou de minimum d’action, prennent une importance de plus en plus grande en physique et en mécanique avec Leibniz et Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759). Lagrange fonde dès 1756 le nouveau calcul sur une base purement analytique. Sa méthode ne permettant pas de distinguer les maximums des minimums, Legendre énonce en 1788 un critère dont la démonstration n’est rendue rigoureuse que par Jacobi en 1836. Le xixe s. consacre de nombreux travaux à cette branche de l’analyse, qui fait actuellement partie de l’analyse fonctionnelle, selon l’expression de Jacques Hadamard (1865-1963).
Équations différentielles et aux dérivées partielles
Les équations différentielles, selon l’expression de Leibniz en 1677, apparaissent dès la découverte des nouveaux calculs. Les procédés d’intégration se perfectionnent tout au long du xviiie s., mais c’est le siècle suivant qui établit les théorèmes d’existence de l’intégrale (ou solution) de l’équation.
Les équations aux dérivées partielles ne sont explicitement introduites qu’en 1734, par Euler, et leur étude systématique ne commence qu’avec d’Alembert, en 1747, au sujet du problème des cordes vibrantes. Les équations du premier ordre sont résolues par Lagrange, et Monge en fournit des interprétations géométriques. L’étude de la courbure des surfaces donne une interprétation analogue à celles du second ordre. Ce genre d’équations a été tout au long des xixe et xxe s. la matière de nombreux travaux. La Théorie des distributions (Laurent Schwartz, 1951) est un des aboutissements.
Les nombres transcendants
Certains nombres, comme π, ne sont atteints, au grand désespoir de quelques-uns, ni par la géométrie de la règle et du compas, ni même par des procédés algébriques. En appelant algébrique tout nombre racine d’une équation P(x) = 0, où P est un polynôme entier sur ℚ, corps des nombres rationnels, et transcendant tout autre nombre, une première question se pose : y a-t-il des nombres transcendants ? En 1844, Liouville construit effectivement des nombres de cette espèce. Les travaux de Cantor sur les ensembles ont démontré ultérieurement leur existence, sans cependant parvenir à en atteindre. En 1872, Hermite établit en toute rigueur la transcendance du nombre e, et, en travaillant dans la même direction, Ferdinand von Lindemann (1852-1939) montre en 1882 celle du nombre π. Le rêve des quadrateurs disparaît à jamais.
En 1934, Aleksandr Ossipovitch Guelfond (1906-1968) prouve que le nombre ab est transcendant, a étant un nombre algébrique différent de 0 et de 1, et b un nombre algébrique irrationnel.
J. I.
Quelques grands analystes
Paul Appell,
mathématicien français (Strasbourg 1855 - Paris 1930). Professeur de mécanique rationnelle à la Sorbonne, il devient recteur de l’Académie de Paris en 1920. L’essentiel de son œuvre se situe en analyse, où il étudie les fonctions algébriques et les fonctions abéliennes. Son Traité de mécanique rationnelle, en cinq volumes, est resté longtemps un ouvrage classique. (Acad. des sc., 1892.)
Bernhard Bolzano,
mathématicien, philosophe et théologien tchèque de langue allemande (Prague 1781 - id. 1848). Son œuvre mathématique, restée longtemps en grande partie manuscrite, en fait un précurseur de Weierstrass, de Méray, de Cantor et de Dedekind pour la définition de l’ensemble des nombres réels. Bien avant Weierstrass, il donne un exemple de fonction continue nulle part dérivable. On peut également le considérer comme un précurseur de Cantor pour la théorie des ensembles et Felix Klein le désigne comme l’un des pères de l’arithmétisation de l’analyse.
Le R. P. Bonaventura Cavalieri,
mathématicien italien (Milan 1598 - Bologne 1647). Membre de l’ordre de Saint-Jerôme, dit des Jésuates, il enseigne les mathématiques à l’université de Bologne. En trigonométrie sphérique, il donne la première démonstration correcte de la proportionnalité de l’aire d’un triangle à son excès sphérique. Mais il est surtout célèbre pour son ouvrage Geometria indivisibilibus continuorum (1635), dans lequel est présentée la première systématisation des procédés de cubature et de quadrature d’Archimède, ou méthode des indivisibles.
Gaston Darboux,
mathématicien français (Nîmes 1842 - Paris 1917). Professeur de géométrie supérieure à la Sorbonne, il s’est notamment intéressé à la théorie des fonctions, aux intégrales définies, aux équations, aux dérivées partielles, mais surtout à la géométrie infinitésimale. En 1870, il fonde le Bulletin des sciences mathématiques. (Acad. des sc., 1884.)
Dinostrate,
mathématicien grec du ive s. av. J.-C. Disciple d’Eudoxe, il aurait utilisé une courbe transcendante pour trouver la longueur du cercle en fonction du rayon. Cette quadratrice est le lieu de l’intersection de deux droites animées de mouvements uniformes, de translation pour l’une, de rotation pour l’autre. Cette courbe aurait été imaginée par Hippias d’Elis (sophiste du ve s. av. J.-C.) pour diviser tout angle en parties égales.
Joseph Liouville,