Éd. 1971-1976

hermitien (espace) (suite)

Propriétés des matrices hermitiennes

Si une matrice H est hermitienne, elle est nécessairement carrée ; les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont conjugués ; s’ils sont réels, ils sont égaux ; les éléments de la diagonale principale sont réels. Si la matrice H est réelle, elle est symétrique.

• Les valeurs propres d’une matrice hermitienne sont réelles.

Soit H une matrice hermitienne, un vecteur (de E_n) propre de H pour la valeur propre s : Hu = su,

De l’égalité Hu = su, on tire u⁺Hu = u⁺su = su⁺u ;
puis, en prenant les conjugués : et, en transposant :

puisque H⁺ = H ; d’où su⁺u = su⁺u, ou
Mais par suite, ou ce qui exprime que s est réelle.

• Les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propres distinctes et rapportés à une base orthonormée sont orthogonaux.

En effet, si et sont deux vecteurs propres de H pour les valeurs propres s₁ et s₂, de matrices

on a Hu = s₁u et Hv = s₂v ;
d’où v⁺Hu = s₁v⁺u et u⁺Hv = s₂u⁺v.

En prenant les conjugués, puis les transposés des deux membres de u⁺Hv = s₂u⁺v, on obtient successivement :

puisque H = H⁺ ; en retranchant alors membre à membre les deux égalités

mais et s₂ ≠ s₁, puisqu’on a choisi deux valeurs propres distinctes ; il en résulte que

la base étant orthonormée. Les deux vecteurs et sont donc orthogonaux au sens hermitien.

• Une matrice hermitienne est diagonalisable. De plus, il existe au moins une matrice unitaire U telle que U^–1HU soit diagonale.

Il y a identité, pour une base donnée, entre l’espace hermitien réel et l’espace euclidien réel. Les matrices hermitiennes sont alors les matrices symétriques réelles, et les matrices unitaires sont les matrices orthogonales. Toutes les propriétés démontrées sur les matrices hermitiennes s’appliquent donc aux matrices symétriques réelles. Le produit scalaire hermitien devient le produit scalaire que l’on utilise, par exemple, dans ℝ³.

E. S.

➙ Espace / Géométrie / Groupe / Matrice / Norme / Vectoriel.

A. Lichnerowicz, Algèbre et analyse linéaire (Masson, 1956). / R. Deltheil, Nouveaux Éléments de mathématiques générales (Baillière, 1958). / A. Warusfel, Dictionnaire raisonné de mathématiques (Éd. du Seuil, 1966). / H. Blanchard et C. Forest, Traité de mathématiques, t. III (Hachette, 1969). / J. Lelong-Ferrand, J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques ; t. I : Algèbre, MP Spéciales A′ A (Dunod, 1971).

hernie

Issue d’un organe hors de la cavité ou il est normalement contenu.

Une hernie est caractérisée par l’issue des viscères abdominaux et pelviens hors de la paroi abdomino-pelvienne, en raison de dispositions anatomiques particulières, congénitales ou acquises, en dehors de tout traumatisme.

On n’envisagera pas dans cette étude les hernies discales (v. vertèbre), les hernies traumatiques, les éventrations postopératoires ni les hernies du diaphragme*.

Les hernies présentent des caractères généraux communs à tous les types et des caractères particuliers selon leur position anatomique (hernie inguinale, hernie crurale...).

Caractères généraux

Toute hernie est caractérisée par une enveloppe, un contenu et un trajet.

• L’enveloppe est formée par le péritoine (sac herniaire) et les éléments de la paroi repoussés, distendus, modifiés par la hernie. Le sac herniaire est toujours distinct du contenu de la hernie : il est de taille et de forme très variables, mais présente toujours une partie rétrécie par laquelle il se continue avec le péritoine de la cavité abdominale : c’est le collet.

• Le contenu herniaire est très variable et dépend du type de hernie. On y trouve le plus souvent de l’épiploon (bourrelet de graisse), une anse de l’intestin grêle, plus rarement un segment du côlon. Mais tout peut se voir dans une hernie : appendice, trompe ou ovaire, corne vésicale, rate, utérus, etc. Les organes hernies le sont occasionnellement (hernies « réductibles ») ou, au contraire, en permanence (hernies « irréductibles »).

• Le trajet dépend de la nature de la hernie : dans la hernie « congénitale », le sac est un reliquat embryonnaire qui ne se ferme pas à la naissance (canal péritonéo-vaginal, par exemple, pour la hernie inguino-scrotale). La hernie existe en puissance dès la naissance, même si ce n’est que plus tard qu’un organe s’y engage (hernie de « force »).

Dans la hernie « acquise », le trajet se constitue sous influence de la poussée abdominale au niveau d’un point faible de la paroi (hernie de « faiblesse »).

Circonstances d’apparition

Affection très répandue, la hernie est trois fois plus fréquente chez l’homme que chez la femme ; elle est plus répandue chez les travailleurs de force. Elle est favorisée par les facteurs qui affaiblissent la paroi (grossesses répétées, obésité, amaigrissement important, vomissements répétés, constipation). La cause déterminante est toujours un effort.

Évolution

Une hernie peut rester stationnaire toute une vie. Elle peut grossir lentement, devenir monstrueuse. La réintégration chirurgicale dans l’abdomen en est alors très difficile : on dit que la hernie a perdu « droit de cité » dans l’abdomen. Enfin, elle peut entraîner des complications graves, dont la plus fréquente et la plus grave est l’étranglement.

Étude clinique

Les signes révélateurs d’une hernie, en dehors de toute complication, sont souvent discrets, voire nuls, en dehors de douleurs apparaissant à l’effort, à la marche.

L’examen se pratique sur le sujet debout, puis couché. La hernie se présente sous l’aspect d’une saillie arrondie, de taille très variable, de consistance rénitente ou molle, se continuant dans la paroi abdominale par une portion rétrécie, le pédicule. Cette hernie est réductible : avec les doigts, on arrive à refouler la saillie herniaire, à la réintégrer dans l’abdomen. On peut alors en étudier le trajet en introduisant le doigt dans l’orifice herniaire. Lorsque le malade tousse, la hernie se reproduit et subit une impulsion à chaque secousse de toux.