géodésie (suite)

Grandeurs fondamentales en géodésie

Un des buts finaux de la géodésie est de fournir pour tous les points M à la surface du Globe leurs coordonnées dans un système de référence « planétaire » G X Y Z bien déterminé, G étant le centre de gravité des masses, GX un axe parallèle au plan méridien de Greenwich et GZ un axe parallèle à l’axe de rotation terrestre.

L’orientation de ce trièdre, ou de tout trièdre parallèle T X Y Z, T étant voisin de G, est bien connue à tout instant dans le champ stellaire, grâce aux observatoires d’astronomie de position.

Un deuxième but est de définir en tout point M l’accélération de la pesanteur, ou plus simplement la grandeur W(M), dite « potentiel », dont est le gradient :

Les surfaces W = constante sont les équipotentielles du champ de pesanteur. Celle qui correspond au niveau moyen des mers est appelée géoïde*. Le vecteur est défini par son intensité g, dont la mesure est du ressort de la gravimétrie*, et par sa direction, qui, repérée dans le trièdre GXYZ, a pour composantes :
λ′ = longitude astronomique ;
φ′ = latitude astronomique.

La détermination de ces grandeurs fait l’objet de l’astronomie géodésique de position*. Pour de nombreuses applications, on est amené à remplacer le géoïde et le champ réel de la pesanteur par un ellipsoïde de référence et un champ approché On obtient ainsi, pour tous les points M, des coordonnées géographiques :
λ = longitude géodésique planétaire ;
φ = latitude géodésique planétaire ;
H = altitude géométrique planétaire.

L’altitude h = Mm de M au-dessus du géoïde est appelée altitude orthométrique. Elle n’est pas directement mesurable. En revanche, le travail pour aller d’un point du géoïde à M est une grandeur mesurable, et indépendante du chemin parcouru. C’est la cote géopotentielle

g étant la valeur de l’intensité de la pesanteur au point courant M_i, et dh la distance entre deux équipotentielles voisines. Elle sert à définir une altitude conventionnelle qui tient lieu d’altitude « au sens courant du terme » ; par exemple :

En pratique, les coordonnées planétaires (X, Y, Z), centrées en G, ne sont pas directement accessibles ; mais, régionalement, on peut placer tous les points M dans un même trièdre (T X Y Z) parallèle au précédent, dont l’orientement est fourni par le référentiel stellaire, et l’origine T définie arbitrairement (à mieux que 0,500 km en général) par le choix d’un point origine M₀ (X₀Y₀Z₀) dans la région considérée. M₀ est dit « point fondamental de la géodésie régionale ». On a aussi l’habitude de repérer les points M dans un ellipsoïde régional centré en T, ce qui fournit des coordonnées géographiques régionales (λ, φ, H). Le vecteur n’est accessible que par des procédés mettant en œuvre la théorie du potentiel (gravimétrie, trajectoire des satellites).

Géodésie classique

Elle consiste à déterminer, à partir d’un point fondamental M₀, un système de coordonnées géographiques (λ φ), en assimilant pour la troisième dimension les altitudes H au-dessus de l’ellipsoïde aux altitudes HN issues du nivellement. Cette branche de la géodésie s’occupe plus spécialement de la détermination des cotes géopotentielles et des altitudes*. Le développement de cette méthode de travail est entièrement justifié par le fait que le canevas qu’elle fournit des grandeurs (λ, φ, HN) est celui qu’exigent les cartes géographiques.

L’utilisation de l’altitude H au-dessus de l’ellipsoïde n’est devenue impérative que dans les travaux modernes (géodésie spatiale).

Traditionnellement, un réseau régional comporte les éléments suivants :
— choix d’un ellipsoïde adapté ;
— choix d’un point fondamental.

En ce dernier point, on détermine les coordonnées astronomiques (λ′ φ′) et, par convention, on leur identifie les coordonnées géodésiques (λ φ). On établit un canevas de points géodésiques dits « de premier ordre », chaque point étant en intervisibilité directe avec les points voisins, à des distances de l’ordre de 30 à 40 km. On dispose de trois grandes catégories de mesures :
— les mesures d’angles horizontaux, ou triangulation*, effectuées essentiellement avec le théodolite ;
— les mesures de distances, permettant une mise à l’échelle et pouvant d’ailleurs être généralisées à de nombreux côtés, grâce aux instruments modernes disponibles ;
— les orientations absolues sur les étoiles, dans le plan horizontal (azimuts de Laplace).

Ces mesures permettent de déterminer le réseau de proche en proche, à partir du point fondamental, avec de nombreuses observations surabondantes, dont les calculs permettent de tenir compte.

Le réseau de premier ordre géodésique est établi avec grand soin, de façon à réaliser un canevas de base précis sur lequel viennent s’appuyer des réseaux hiérarchisés de deuxième, troisième, quatrième ordre, observés en général par triangulations. À la limite, on obtient une densité de points connus élevée, qui peuvent servir de canevas aux cartes topographiques et aux travaux cadastraux. La précision d’un réseau géodésique classique est couramment de l’ordre de 1/100 000 sur les longueurs. Par l’augmentation de la précision sur les mesures de distances, les réseaux modernes peuvent atteindre 1/300 000 ou même mieux. Pour l’exploitation des points de détail, on passe couramment des coordonnées (λ φ) sur l’ellipsoïde à des coordonnées rectangulaires (x y) par une représentation de l’ellipsoïde sur le plan (projection*).

Géodésie tridimensionnelle

Dans l’époque récente, il est devenu possible de calculer, à côté de l’altitude HN nécessaire à la topographie, l’altitude H au-dessus de l’ellipsoïde. L’ensemble (λ, φ, H) a seul un sens dans l’espace à trois dimensions. Plusieurs méthodes sont utilisables, mais la plus commode localement consiste dans le nivellement astrogéodésique. On détermine la verticale astronomique en de nombreux points d’une zone couverte par une géodésie régulière. On peut ainsi déterminer l’angle θ, dit « de déviation de la verticale », entre les verticales astronomique et géodésique. Cet angle traduit la pente au point M de la surface : DH = H — HN.

On peut ainsi tirer de l’ensemble des déviations de la verticale dans une région une détermination de la correction DH à appliquer aux altitudes normales pour passer aux altitudes au-dessus de l’ellipsoïde. La déviation de la verticale dépasse rarement 0,01 gr.