ensemble (suite)
Relations entre ensembles
Relation d’inclusion
Un ensemble E est inclus dans un ensemble F si tout élément de E appartient à F ; on notera E ⊂ F et on lit « E inclus dans F » ; le signe ⊂ est celui de l’inclusion d’ensembles. Ainsi, on peut écrire ℕ ⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℚ, ℚ ⊂ ℤ.
Relation d’égalité
Les deux ensembles E et F sont égaux si l’on a E ⊂ F et F ⊂ E ; on écrit E = F ; les ensembles E et F sont constitués des mêmes éléments.
Ensemble des parties d’un ensemble E
C’est l’ensemble de toutes les parties que l’on peut former à l’aide des éléments de E ; on le note 
et on lit « p de E ». Quel que soit E, contient toujours, en particulier, E lui-même et une partie qui ne contient aucun élément, appelée la partie vide et notée ∅. Les autres parties sont formées d’éléments de E ; elles sont donc incluses dans E. Par exemple, si E = {a, b, c}.
Dans on a rangé les parties de E suivant le nombre d’éléments qu’elles contiennent. L’ensemble est ordonné partiellement par la relation d’inclusion, qui est réflexive, transitive et antisymétrique. En effet, quelles que soient les parties A, B et C de E [on peut aussi écrire A, B et C ∈ ], on a : A ⊂ A (réflexive) ; si A ⊂ B et B ⊂ C, A ⊂ C (transitive) ; enfin, si A ⊂ B et B ⊂ A, A = B (antisymétrique). Mais l’ordre ainsi obtenu n’est que partiel, puisque, étant donné deux parties A et B de E, en général on n’a ni A ⊂ B ni B ⊂ A.
Opérations dans l’ensemble des parties d’un ensemble E
Étant donné deux parties quelconques A et B d’un ensemble E, on définit quatre opérations élémentaires dans , c’est-à-dire quatre façons d’obtenir à partir de A et de B une troisième partie de E. Il s’agit donc bien d’opérations internes pour puisque, à l’aide de deux éléments de , on en obtient un troisième.
• Intersection de deux parties A et B. C’est la partie C de E formée des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B ; on note C = A ∩ B et on lit « A inter B » ; le signe ∩ est celui de l’intersection.
• Union ou réunion de deux parties A et B. C’est la partie D de E obtenue en réunissant tous les éléments de A et de B ; on note D = A ∪ B et on lit « A union B » ; le signe ∪ est celui de l’union.
• Différence de A et de B. C’est la partie de E formée des éléments de A qui n’appartiennent pas à B ; on la note A – B.
• Différence symétrique de A et de B. C’est la partie notée A ∆ B (on lit A delta B), définie par
A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A).
Propriétés des opérations dans
• L’intersection et la réunion sont commutatives, associatives et idempotentes, car, A, B et C étant trois parties quelconques d’un ensemble E, on a :
A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A (commutativité),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C (associativité),
A ∩ A = A, A ∪ A = A (idempotence).
De plus, l’une de ces deux opérations est distributive par rapport à l’autre :
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
On démontre ces deux égalités en montrant que, pour qu’un élément appartienne au premier membre, il faut et il suffit qu’il appartienne au second.
• La différence n’est pas commutative. Si A ⊂ E, E – A est formé des éléments de E qui n’appartiennent pas à A ; on note E – A = ∁EA (on lit « complémentaire de A dans E ») ou simplement ∁A ou Ā (A barre) quand il n’y a pas de doute sur l’ensemble de référence E. Ā est la partie complémentaire de A dans E. On a A ∩ Ā = ∅ et A ∪ Ā = E ; de plus, ∁(∁A) = A.
Le complémentaire de la réunion de deux parties est l’intersection de leurs complémentaires
Le complémentaire de l’intersection est la réunion des complémentaires
• La différence symétrique est commutative ; elle peut aussi s’écrire 
Partition d’un ensemble
On appelle ainsi toute famille de parties A1, A2, ..., Ai, ..., où i ∈ I d’un ensemble E telle que
Aucune des parties Ai n’est vide, l’intersection des parties Ai deux à deux est vide, et l’union des parties Ai est égale à E.
Ainsi, tout élément x de E appartient à une partie Ai et une seule ; un classement des éléments de E en résulte. Une véritable partie A de E et sa partie complémentaire Ā forment une partition particulière de E.
Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles
• Le produit des deux ensembles X et Y est l’ensemble des couples ordonnés (x, y), où x ∈ X et y ∈ Y. Par exemple, si X = Y = ℝ (ensemble des nombres réels), le produit X × Y, noté ici ℝ2, est l’ensemble des couples de réels. Si X = ℝ et Y = ℝ sont représentés graphiquement par les points de deux axes sécants, ℝ2 est représenté par les points du plan.
• De façon plus générale, le produit des ensembles X1, X2, ..., Xn est l’ensemble des n-uplets (x1, x2, ..., xn), où x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ..., xn ∈ Xn ; on note X1 × X2 × ... × Xn ; si X1 = X2 = ... = Xn, on note 
ou Xn. On définit ainsi ℝ3 et ℝn, n ∈ ℕ.
Cardinal d’un ensemble
Si cet ensemble est fini, c’est le nombre d’éléments de cet ensemble.
Dans la classe des ensembles infinis, on définit une relation d’équivalence : deux ensembles ont même puissance s’ils sont en correspondance biunivoque. Le cardinal d’un ensemble A est alors la classe d’équivalence à laquelle il appartient.
Fonction caractéristique d’un ensemble
C’est la fonction qui prend la valeur 1 sur cet ensemble et 0 ailleurs. De façon précise, A étant une partie de E, la fonction caractéristique fA de A (relativement à E) est la fonction définie sur E et qui vaut 1 sur A et 0 sur ∁EA. On a fA + fĀ = 1 ; de plus fA ∩ B = fA . fB, car
fA ∩ B(x) = 1 ⇔ (x ∈ A et x ∈ B) ⇔ [fA(x) = 1 et fB(x) = 1].
Il en résulte que
L’étude d’ensembles munis d’une ou plusieurs opérations conduit à définir des structures.