élasticité

Propriété que possèdent de nombreux solides naturels de se déformer sous l’influence des forces qui leur sont appliquées, de telle sorte que, si les contraintes qui en résultent en tous points demeurent inférieures à une certaine limite, appelée limite d’élasticité, les déformations subies (caractérisées notamment par la variation de la distance séparant deux points quelconques des corps) sont proportionnelles aux contraintes subies.

Si les forces appliquées au corps s’effacent, les contraintes résultantes s’annulent, les déformations concomitantes disparaissent et le corps, temporairement déformé, reprend exactement sa forme primitive. Ce retour quasi immédiat du corps à sa forme antérieure, dès que cessent les efforts appliqués, suppose :

• qu’en aucun point ou en aucune zone du corps les contraintes ne dépassent la limite élastique, faute de quoi il y a déformation plastique (ou déformation permanente) en ces points ou dans cette zone ;

• que le corps ne soit pas doué de viscosité, auquel cas les forces visqueuses s’opposent partiellement à un retour quasi instantané à la forme initiale : la déformation est alors pseudo-plastique ou rémanente, le retour complet à la forme primitive étant partiellement différé.

Théorie de l’élasticité

Elle a pour objet l’étude des déformations parfaitement élastiques en fonction des contraintes résultant des forces appliquées à un corps solide déformable, mais doué de cohésion : elle fait donc appel à la notion d’équilibre interne du corps, en se limitant généralement aux corps solides, homogènes et isotropes. Elle a pour base la loi de Robert Hooke (1635-1705).

Loi de Hooke

Si l’on soumet une éprouvette de longueur L et de base ΔS à une force de traction ΔF appliquée à la base, il en résulte, d’une part, une contrainte et, d’autre part, un allongement ΔL de la longueur L.

Tant que la contrainte f ne dépasse pas une valeur limite, appelée limite d’élasticité longitudinale, on a la relation

en posant (allongement relatif ou allongement proportionnel) et E étant une constante du corps pris dans un état déterminé, que l’on désigne sous le nom de coefficient d’élasticité, ou module d’Young. La contrainte f est proportionnelle à l’allongement relatif qu’elle provoque. C’est la loi de Hooke. Sa généralisation est le fondement essentiel de la théorie de l’élasticité : tant que la contrainte de déformation ne dépasse pas la limite d’élasticité, la déformation produite est une fonction linéaire de cette contrainte.

Principe de superposition

C’est le corollaire de cette loi. Si on superpose un système de forces extérieures à un autre système de forces extérieures, antérieurement appliquées, la déformation qui se superpose à la déformation initiale est la même que si le nouvel ensemble de forces agissait seul. La théorie de l’élasticité est entièrement fondée sur le postulat de la loi de Hooke généralisée, c’est-à-dire sur la forme linéaire des relations existant entre les forces appliquées, les réactions moléculaires du corps déformable et les déformations qui en résultent. C’est à cette forme des relations que l’on doit l’indépendance des effets de forces.

Problèmes étudiés dans la théorie générale de l’élasticité

Ces problèmes sont de trois ordres :

• l’étude des contraintes appliquées autour de la triple infinité d’éléments de surface passant par un point quelconque du corps ;

• l’étude des déformations qui résultent de ces contraintes et qui leur sont liées ;

• la réduction (par des considérations de symétrie) du nombre de coefficients qu’il est possible d’introduire dans les équations reliant les forces aux déformations.

Contraintes propres et contraintes de charge. Tenseurs

Dans un corps soumis à des forces extérieures, tout élément de surface en un point M quelconque comprend deux faces opposées G et D, limitant deux zones qui se font vis-à-vis et qui sont en équilibre parce que les contraintes appliquées à chacune d’elles sont en équilibre.

Si le corps n’est soumis à aucune sollicitation extérieure, les contraintes ne sont pas nécessairement nulles en tous les points. Il existe des contraintes propres, qui se différencient des contraintes de charge, dues à l’action des forces extérieures ; ces deux types de contraintes se composent d’ailleurs géométriquement, car ce sont en fait des vecteurs, de dimensions L^– 1MT^– 2.

À toute surface élémentaire, en un point quelconque, est liée une contrainte ; si elle s’exerce en tension sur la face G, elle s’exerce en pression sur la face opposée D. Toute contrainte appliquée à une face élémentaire peut se décomposer en contrainte normale et en contrainte tangentielle, dénommée cisaillement.

Par tout point d’un corps passe une triple infinité de surfaces élémentaires, ainsi qu’une triple infinité de vecteurs contraintes associés à ces surfaces. L’ensemble des vecteurs contraintes autour d’un point porte le nom de tenseur ; le lieu des extrémités des vecteurs contraintes est un ellipsoïde, appelé ellipsoïde de Lamé ou ellipsoïde des contraintes.

Les contraintes suivant les trois axes de cet ellipsoïde sont normales aux éléments de surface qui leur sont associés : ce sont les contraintes principales, et les directions des trois axes sont les directions principales des contraintes au point considéré.

Le faisceau des contraintes peut se représenter, en plan, par le système de Mohr (tricercle des contraintes ou tricercle de Mohr).

Les lignes trajectoires des directions principales constituent dans un solide élastiquement déformable le réseau des isostatiques.

• Équilibre du parallélépipède élémentaire. Soit X₀Y₀Z₀ les composantes de la force appliquée à l’unité de volume d’un parallélépipède tracé à partir d’un point M de coordonnées (x, y, z), dont les côtés ont pour valeur dx, dy, dz. La force appliquée au volume dx dy dz a pour composantes
X₀dx dy dz, Y₀dx dy dz, Z₀dx dy dz.
Soit X₁, Y₁, Z₁ les composantes de la contrainte s’exerçant en M sur l’élément de surface élémentaire perpendiculaire à ox, X₂, Y₂, Z₂ les composantes de la contrainte s’exerçant sur l’élément de surface perpendiculaire à oy et X₃, Y₃, Z₃ les composantes de la contrainte relative à l’élément de surface perpendiculaire à oz.